（20）（本小题满分 12 分） 设椭圆 C : x^ 2…——2010 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，由题意知 $y_{1}<0, y_{2}>0$ ．
（I）直线 $l$ 的方程为 $y=\sqrt{3}(x-c)$ ，其中 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ ．
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}(x-c), \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{array}\right.$ 得 $\left(3 a^{2}+b^{2}\right) y^{2}+2 \sqrt{3} b^{2} c y-3 b^{4}=0$ ．
解得 $y_{1}=\frac{-\sqrt{3} b^{2}(c+2 a)}{3 a^{2}+b^{2}}, y_{2}=\frac{-\sqrt{3} b^{2}(c-2 a)}{3 a^{2}+b^{2}}$ ．
因为 $\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}$ ，所以 $-y_{1}=2 y_{2}$ ．
即 $\frac{\sqrt{3} b^{2}(c+2 a)}{3 a^{2}+b^{2}}=2 \cdot \frac{-\sqrt{3} b^{2}(c-2 a)}{3 a^{2}+b^{2}}$ ．
得离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$ ．
（II）因为 $|A B|=\sqrt{1+\frac{1}{3}}\left|y_{2}-y_{1}\right|$ ，所以 $\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4 \sqrt{3} a b^{2}}{3 a^{2}+b^{2}}=\frac{15}{4}$ ．
由 $\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$ 得 $b=\frac{\sqrt{5}}{3} a$ ．所以 $\frac{5}{4} a=\frac{15}{4}$ ，得 $a=3, b=\sqrt{5}$ ．
椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ ．