2010_quanguo_old_i
10．（5分）已知函数f $\mathbf { \tau } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \eta } = \left| \mathbf { g } \mathbf { x } \right|$ ，若 $\cdot 0 < a < b$ ，且f（a）=f（b），则 $a + 2 b$ 的取值范围是（ ）A $( 2 { \sqrt { 2 } } , ~ + \infty )$ B $[ 2 \sqrt { 2 } , ~ + \infty )$ C．（3， $+ \infty )$ D $[ 3 , \ + \infty )$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】34：函数的值域；3D：函数的单调性及单调区间；4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用
【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想
【分析】由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，
确定a+2b的取值范围
【解答】解：因为f（a）=f（b），所以 $\left| \mathsf { l g a } \right| = \left| \mathsf { l g b } \right|$ ，所以a=b（舍去），或 $b = \frac { 1 } { a }$ ，所以 $a + 2 b = a + \frac { 2 } { a }$
又 $0 < a < b$ ，所以 $0 { < } \mathsf { a } { < } 1 { < } \mathsf { b }$ ，令 $f ( a ) = a + \frac { 2 } { a }$ ，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在 $\mathsf { a } \in \mathsf { \Gamma } ( 0 , \mathsf { \Omega } 1 )$ 上为减函数，
所以f $\mathbf { \lambda } ( \mathsf { a } ) > \mathsf { f } \mathbf { \lambda } ( \mathsf { 1 } ) \mathsf { \Omega } = \mathsf { 1 } ^ { + } \frac { 2 } { 1 } = 3$ ，即a+2b的取值范围是（3，+∞）
故选：C
【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得 $\ a + 2 b =$ $a + \frac { 2 } { a } > 2 \sqrt { 2 }$ ，从而错选A，这也是命题者的用心良苦之处