2008_xinkebiao_old
17、（本小题满分12分）如图， $\triangle \mathsf { A C D }$ 是等边三角形， $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形， $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ ，BD交 ${ \mathsf { A C } } ^ { }$ 于E， $\mathsf { A B } { = } 2$ 。（1）求 $\mathsf { c o s \mathcal { L } C B E }$ 的值；（2）求AE。
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
（12分）（2008•海南）如图， $\triangle \mathrm { A C D }$ 是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形， $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ ，BD交AC于E，AB=2
（1）求cos∠CBE的值；
（2）求AE
【考点】正弦定理的应用
【分析】（1）根据图中各角和边的关系可得∠CBE的值，再由两角差的余弦公式可得答案
（2）根据正弦定理可直接得到答案
【解答】解：．（1） $\because \angle \mathrm { B C D } = 9 0 ^ { \circ } + 6 0 ^ { \circ } = 1 5 0 ^ { \circ } , ~ \mathrm { C B } = \mathrm { A C } = \mathrm { C D }$
$$ \therefore \angle \mathrm { C B E } = 1 5 ^ { \circ } , \therefore \cos \angle \mathrm { C B E } = \cos ( 4 5 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } ) = \frac { \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } } { 4 } \cdot $$
（2）在△ABE中，AB=2，由正弦定理得 $\frac { \frac { \mathrm { A E } } { } } { \sin { \ ( 4 5 ^ { \circ } \ - 1 5 ^ { \circ } ) } } = \frac { 2 } { \sin { \ ( 9 0 ^ { \circ } \ + 1 5 ^ { \circ } ) } } ,$
$$ A E = \frac { 2 \sin 3 0 ^ { \circ } } { \cos 1 5 ^ { \circ } } = \frac { 2 \times \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } } { 4 } } = \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } . $$
【点评】本题主要考查正弦定理及平面几何知识的应用．解三角形一直是高考的重点内容之一，不能轻视