（5分）若函数 f ( x )=cos 2 x + a s…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【考点】HM：复合三角函数的单调性．
【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令 $\mathrm{t}=\sin \mathrm{x}$ 换元，根据给出的 x 的范围求出 t 的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．

【解答】解：由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{a} \sin \mathrm{x}$
$=-2 \sin ^{2} x+a \sin x+1$ ，
令 $\mathrm{t}=\sin \mathrm{x}$ ，
则原函数化为 $\mathrm{y}=-2 \mathrm{t}^{2}+\mathrm{at}+1$ ．
$\because x \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时 $f(x)$ 为减函数，
则 $\mathrm{y}=-2 \mathrm{t}^{2}+\mathrm{at}+1$ 在 $\mathrm{t} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 上为减函数，
$\because y=-2 t^{2}+a t+1$ 的图象开口向下，且对称轴方程为 $t=\frac{a}{4}$ ．
$\therefore \frac{\mathrm{a}}{4} \leqslant \frac{1}{2}$ ，解得： $\mathrm{a} \leq 2$ ．
$\therefore \mathrm{a}$ 的取值范围是 $(-\infty, 2]$ ．
故答案为：$(-\infty, 2]$ ．
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．