2014 大纲卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设 $\mathrm{z}=\frac{10 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$ ，则 z 的共轭复数为

2．（5分）设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}-3 x-4<0\right\}, N=\{x \mid 0 \leq x \leq 5\}$ ，则 $M \cap N=$

3．（5分）设 $\mathrm{a}=\sin 33^{\circ}, \mathrm{b}=\cos 55^{\circ}, \mathrm{c}=\tan 35^{\circ}$ ，则（ ）

4．（5分）若向量 $\vec{a} , \vec{b}$ 满足：$|\vec{a}|=1,(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{a},(2 \vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=($

5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

6．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A , B$ 两点，若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为

7．（5分）曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}-1}$ 在点 $(1,1)$ 处切线的斜率等于（ ）

8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4 ，底面边长为 2 ，则该球的表面积为

9．（5分）已知双曲线 $C$ 的离心率为 2 ，焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $\left|F_{1} A\right|=2 \mid F { }_{2} A \mid$ ，则 $\cos \angle A F_{2} F_{1}=$

10．（5分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{4}=2, a_{5}=5$ ，则数列 $\left\{\operatorname{Ig} a_{n}\right\}$ 的前 8 项和等于

11．（5分）已知二面角 $\alpha-I-\beta$ 为 $60^{\circ}, A B \subset \alpha, A B \perp I, A$ 为垂足，$C D \subset \beta, C \in I$ ， $\angle A C D=135^{\circ}$ ，则异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

12．（5分）函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x+y=0$ 对称，则 $y=f(x)$ 的反函数是（ ）

13．（5分）$\left(\frac{x}{\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 70 －（用数字作答）

14．（5分）设 $x , y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geqslant 0 \\ x+2 y \leqslant 3 \\ x-2 y \leqslant 1\end{array}\right.$ 则 $z=x+4 y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 5 ．

15．（5分）直线 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的两条切线，若 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的交点为 $(1,3)$ ，则 $I_{1} { }_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的夹角的正切值等于 $\_\_\_\_$ $\frac{4}{3}$。

16．（5分）若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{a} \sin \mathrm{x}$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 是减函数，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，2］ ．

17．（10分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ，已知 $3 a \cos C=2 \cos A$ ， $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{3}$ ，求 B ．

18．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=13$ ，$a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \leq S_{4}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

19．（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $D$ 在 $A C$ 上 ，$\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=\mathrm{CC}_{1}=2$ ．
（ I ）证明：$A C_{1} \perp A_{1} B$ ；
（II）设直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，求二面角 $A_{1}-A B-C$ 的大小．

20．（ 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0 ．
$6 , 0.5 , 0.5 , 0.4$ ，各人是否需使用设备相互独立．
（I）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；
（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望。

21．（12分）已知抛物线C：$y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，且 $|\mathrm{QF}|=\frac{5}{4}|\mathrm{PQ}|$ ．
（I）求C的方程；
（II）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $I$ 与 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $A , M , B , N$ 四点在同一圆上，求 $I$ 的方程．

22．（12分）函数 $f(x)=\ln (x+1)-\frac{a x}{x+a}(a>1)$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）设 $a_{1}=1, a_{n+1}=\ln \left(a_{n}+1\right)$ ，证明：$\frac{2}{n+2}