（本小题满分 14 分） 已知 a>0，函数 f(x)=l…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分 14 分．
（I）解：$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2 a x=\frac{1-2 a x^{2}}{2}, x \in(0,+\infty)$ ，

令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $\mathrm{x}=\frac{\sqrt{2 a}}{2 a}$ ．
当 x 变化时，$f^{\prime}(x), f(x)$ 的变化情况如下表：

$$ \begin{array}{llll} x & \left(0, \frac{\sqrt{2 a}}{2 a}\right) & \frac{\sqrt{2 a}}{2 a} & \left(\frac{\sqrt{2 a}}{2 a},+\infty\right) \\ f^{\prime}(x) & + & 0 & - \\ f(x) & & \text { 极大值 } \end{array} $$

所以，$f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0, \frac{\sqrt{2 a}}{2 a}\right), f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(\frac{\sqrt{2 a}}{2 a},+\infty\right)$ ．
（II）证明：当 $a=\frac{1}{8}$ 时，$f(x)=\ln x-\frac{1}{8} x^{2}$ ．
由（I）知 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 内单调递增，

在 $(2,+\infty)$ 内单调递减．
令 $g(x)=f(x)-f\left(\frac{3}{2}\right)$ ．
由于 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 内单调递增，
故 $f(2)>f\left(\frac{3}{2}\right)$ ，即 $g(2)>0$ ．
取 $x^{\prime}=\frac{3}{2} e>2$ ，则 $g\left(x^{\prime}\right)=\frac{41-9 e^{2}}{32}<0$ ．
所以存在 $x_{0} \in\left(2, x^{\prime}\right)$ ，使 $g\left(x_{0}\right)=0$ ，
即存在 $x_{0} \in(2,+\infty)$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ 。
（说明：$x^{\prime}$ 的取法不唯一，只要满足 $x^{\prime}>2$ ，且 $g\left(x^{\prime}\right)<0$ 即可）
（III）证明：由 $f(\alpha)=f(\beta)$ 及（I）的结论知 $\alpha<\frac{\sqrt{2 a}}{2 a}<\beta$ ，
从而 $f(x)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上的最小值为 $f(a)$ ．

又由 $\beta-\alpha \geq 1, \alpha, \beta \in[1,3]$ ，知 $1 \leq \alpha \leq 2 \leq \beta \leq 3$ ．
故 $\left\{\begin{array}{l}f(2) \geq f(\alpha) \geq f①, \\ f② \geq f(\beta) \geq f③ .\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}\ln 2-4 a \geq-a, \\ \ln 2-4 a \geq \ln 3-9 a .\end{array}\right.$
从而 $\frac{\ln 3-\ln 2}{5} \leq a \leq \frac{\ln 2}{3}$ ．