19．（本小题满分 14 分）
已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=\ln x-a x^{2}, x>0$. （ $f(x)$ 的图像连续不断）
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）当 $a=\frac{1}{8}$ 时，证明：存在 $x_{0} \in(2,+\infty)$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ；
（III）若存在均属于区间 $[1,3]$ 的 $\alpha, \beta$ ，且 $\beta-\alpha \geq 1$ ，使 $f(\alpha)=f(\beta)$ ，证明 $\frac{\ln 3-\ln 2}{5} \leq a \leq \frac{\ln 2}{3}$ ．
参考答案
(1) 所以，$f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0, \frac{\sqrt{2 a}}{2 a}\right), f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(\frac{\sqrt{2 a}}{2 a},+\infty\right)$ ．; (2) 所以存在 $x_{0} \in\left(2, x^{\prime}\right)$ ，使 $g\left(x_{0}\right)=0$ ， 即存在 $x_{0} \in(2,+\infty)$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ 。; (3) 从而 $\frac{\ln 3-\ln 2}{5} \leq a \leq \frac{\ln 2}{3}$ ．