（17）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， a ,…——2010 高考数学第 17 题答案解析

（I）由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，将已知等式 $2 a \sin A=(2 a+c) \sin B+(2 c+b) \sin C$ 中的正弦值替换为对应的边长比例关系，可得：
$$2 a^{2}=(2 b+c) b+(2 c+b) c$$
展开整理得：
$$2 a^{2}=2 b^{2}+b c+2 c^{2}+b c$$
$$2 a^{2}=2 b^{2}+2 c^{2}+2 b c$$
即：
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}+b c$$
根据余弦定理 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$，对比上述两式可得：
$$-2 b c \cos A=b c$$
因为 $b, c > 0$，所以：
$$\cos A=-\frac{1}{2}$$
又因为 $A \in(0, \pi)$，所以 $A=120^{\circ}$（或 $\frac{2 \pi}{3}$）。

（II）由（I）知 $A=120^{\circ}$，则 $B+C=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，即 $C=60^{\circ}-B$。
因为 $B, C$ 均为三角形内角，故 $0^{\circ}<B<60^{\circ}$。
$$ \begin{aligned} \sin B+\sin C & =\sin B+\sin \left(60^{\circ}-B\right) \\ & =\sin B+\sin 60^{\circ} \cos B-\cos 60^{\circ} \sin B \\ & =\sin B+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B-\frac{1}{2} \sin B \\ & =\frac{1}{2} \sin B+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B \\ & =\sin \left(B+60^{\circ}\right) \end{aligned} $$
因为 $0^{\circ}<B<60^{\circ}$，所以 $60^{\circ}<B+60^{\circ}<120^{\circ}$。
当 $B+60^{\circ}=90^{\circ}$，即 $B=30^{\circ}$ 时，$\sin \left(B+60^{\circ}\right)$ 取得最大值 1。
此时 $\sin B+\sin C$ 的最大值为 1。