2009_退役省自主命题 (2009·理)
19．（本小题满分 13 分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 $m$ 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 $x$ 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 $(2+\sqrt{x}) x$ 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素。记余下工程的费用为 $y$ 万元。
（I）试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；
（II）当 $m=640$ 米时，需新建多少个桥墩才能使 $y$ 最小？
19．（09湖南理）（本小题满分 13 分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 $m$ 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 $x$ 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 $(2+\sqrt{x}) x$ 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为 $y$ 万元。
（I）试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；
（II）当 $m=640$ 米时，需新建多少个桥墩才能使 $y$ 最小？
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
解：（ I ）设需新建 $n$ 个桥墩，则 $(n+1) x=m$ ，即 $\mathrm{n}=\frac{m}{x}-1$ ，
所以 $y=f(x)=256 \mathrm{n}+(\mathrm{n}+1)(2+\sqrt{x}) \mathrm{x}=256\left(\frac{m}{x}-1\right)+\frac{m}{x}(2+\sqrt{x}) x$
$$ =\frac{256 m}{x}+m \sqrt{x}+2 m-256 $$
（II）由（I）知，$f^{\prime}(x)=-\frac{256 m}{x^{2}}+\frac{1}{2} m x^{-\frac{1}{2}}=\frac{m}{2 x^{2}}\left(x^{\frac{3}{2}}-512\right)$ ．
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x^{\frac{3}{2}}=512$ ，所以 $x=64$ ．
当 $0<x<64$ 时，$f^{\prime}(x)<0, ~ f(x)$ 在区间 $(0,64)$ 内为减函数；
当 $64<x<640$ 时，$f^{\prime}(x)>0 . ~ f(x)$ 在区间 $(64, ~ 640)$ 内为增函数．
所以 $f(x)$ 在 $x=64$ 处取得最小值，此时 $n=\frac{m}{x}-1=\frac{640}{64}-1=9$ ．
故需新建 9 个桥墩才能使 $y$ 最小。