【答案】（I） $\frac { y ^ { 2 } } { 9 } + \frac { x ^ { 2 } } { 8 } = 1$ ；(II) $\pm { \frac { \sqrt { 6 } } { 4 } }$
【解析】
试题分析：（I)由题通过F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆 $C _ { 2 }$ 的一个焦点，可得 $a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 1$ ，根据 $C _ { 1 }$ 与 $C _ { 2 }$ 的公共弦长为 $2 \sqrt { 6 } , C _ { 1 } \Xi C _ { 2 }$ 都关于y轴对称可得 $\frac { 9 } { 4 a ^ { 2 } } + \frac { 6 } { b ^ { 2 } } = 1$ ，然后得到对应曲线方程即可； (I) 设$A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , C ( x _ { 3 } , y _ { 3 } ) , D ( x _ { 4 } , y _ { 4 } )$ 根据 $\overline { { A C } } = \overline { { B D } }$ ，可得
$( x _ { 3 } + x _ { 4 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 3 } x _ { 4 } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 }$ ，设直线 $l$的斜率为k，则7的方程为 $y = k x + 1$ ，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果
试题解析：（I）由 $C _ { 1 } : x ^ { 2 } = 4 y$ 知其焦点F的坐标为(0.1)，因为F也是椭圆 $C _ { 2 }$ 的一个焦点，所以 $a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 1$ $\textcircled{1} ;$ $C _ { 1 }$ 与 $C _ { 2 }$ 的公共弦长为 $2 \sqrt { 6 }$ $C _ { 1 }$ 与 $C _ { 2 }$ 都关于y轴对称，且 $C _ { 1 }$ 的方程为 $C _ { 1 } : x ^ { 2 } = 4 y$ ，由此易知 $C _ { 1 }$ 与 $C _ { 2 }$ 的公共点的坐标为 $( \pm \sqrt { 6 } , \frac { 3 } { 2 } ) , \therefore \frac { 9 } { 4 a ^ { 2 } } + \frac { 6 } { b ^ { 2 } } = 1$
联立①②得 $a ^ { 2 } = 9 , b ^ { 2 } = 8$ ，故 $C _ { 2 }$ 的方程为 $\frac { y ^ { 2 } } { 9 } + \frac { x ^ { 2 } } { 8 } = 1$
(II) 如图，设 $A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , C ( x _ { 3 } , y _ { 3 } ) , D ( x _ { 4 } , y _ { 4 } )$ "
因 ${ \overline { { A C } } } \subseteq { \overline { { B D } } }$ 同向，且 $\left| { \cal A } C \right| = \left| B D \right|$
所以 $\overline { { A C } } = \overline { { B D } }$ ，从而 $x _ { 3 } - x _ { 1 } = x _ { 4 } - x _ { 2 }$ ，即 $x _ { 3 } - x _ { 4 } = x _ { 1 } - x _ { 2 }$ ，于是
$$
( x _ { 3 } + x _ { 4 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 3 } x _ { 4 } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 }
$$
设直线 $l$的斜率为k，则1的方程为 $y = k x + 1$
由 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \nu = k x + 1 } } \\ { { x ^ { 2 } = 4 y } } \end{array} \right.$ 得 $x ^ { 2 } - 4 k x - 4 = 0$ ，由 $x _ { 1 } = x _ { 2 }$ 是这个方程的两根， $\therefore x _ { 1 } + x _ { 2 } = 4 k , x _ { 1 } x _ { 2 } = - 4 \textcircled { 4 }$ 由 $\scriptstyle \left\{ { \begin{array} { l } { { \boldsymbol { y } } = { \boldsymbol { k } } { \boldsymbol { x } } + 1 } \\ { { \boldsymbol { x } } ^ { 2 } + { \boldsymbol { \frac { \boldsymbol { y } ^ { 2 } } { 9 } } } = 1 } \end{array} } \right.$ 得 $( 9 + 8 k ^ { 2 } ) x ^ { 2 } + 1 6 \lambda \sigma c - 6 4 = 0$ $x _ { 3 } = x _ { 4 }$ 是这个方程的两根，$x _ { 3 } + x _ { 4 } = - \frac { 1 6 \lambda \varepsilon } { 9 + 8 \lambda ^ { 2 } } , x _ { 3 } x _ { 4 } = - \frac { 6 4 } { 9 + 8 \lambda ^ { 2 } } ,$ ⑤
将④、⑤代入③，得 $1 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) = \frac { 1 6 ^ { 2 } k ^ { 2 } } { ( 9 + 8 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 4 \times 6 4 } { 9 + 8 k ^ { 2 } }$ 。即 $1 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) = \frac { 1 6 ^ { 2 } \times 9 ( k ^ { 2 } + 1 ) } { ( 9 + 8 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } }$
所以 $( 9 + 8 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 1 6 \times 9$ ，解得 $k = \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 4 }$ ，即直线 $l$的斜率为± $\frac { \sqrt { 6 } } { 4 }$
【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质
【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出 $a ^ { 2 }$ $b ^ { 2 }$ ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单