（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体…——2017 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
（5分）（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 $- \frac { 9 \pi } { 2 } -$

【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可

【解答】解：设正方体的棱长为a，

$\because$ 这个正方体的表面积为18，

$$ \therefore 6 \mathsf { a } ^ { 2 } = 1 8 , $$

则 $\mathtt { a } ^ { 2 } = 3$ ，即 $\scriptstyle \mathtt { a } = { \sqrt { 3 } } ,$

$\because$ 一个正方体的所有顶点在一个球面上，

$\therefore$ 正方体的体对角线等于球的直径，

即 $\sqrt { 3 } a = 2 R$

即 $\mathsf { R } { = } \frac { 3 } { 2 } ,$

则球的体积 $V = \frac { 4 } { 3 } \pi \cdot ( \frac { 3 } { 2 } ) = \frac { 9 \pi } { 2 }$

故答案为： $\frac { 9 \pi } { 2 }$

【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键