（14分）（2011•北京）如图，在四棱锥 P - ABC…——2011 高考数学第 16 题答案解析

【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离。
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（I）由已知条件可得 $\mathrm{ACBD}, \mathrm{PABD}$ ，根据直线与平面垂直的判定定理可证
（II）结合已知条件，设 AC 与 BD 的交点为 O ，则 $\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$ ，故考虑分别以 OB ， OC 为 x 轴、 y轴，以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，

设 PB 与 AC 所成的角为 $\theta$ ，则 $\theta$ 可转化为 $\overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 所成的角，代入公式
$\left.\cos \theta=\frac{\mid \overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|} \right\rvert\,$ 可求

（III）分别求平面 PBC 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{m}}=\left(3, \sqrt{3}, \frac{6}{\mathrm{t}}\right)$ ，平面 PDC 的法向量
$\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(-3, \sqrt{3}, \frac{6}{\mathrm{t}}\right)$
由平面 $\mathrm{PBC} \perp$ 平面 PDC 可得 $\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=0$ 从而可求 t 即 PA
【解答】解：（I）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$ ，
又因为 $\mathrm{PA} \perp$ 平面 ABCD ，所以 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{BD}, \mathrm{PA} \cap \mathrm{AC}=\mathrm{A}$
所以 $\mathrm{BD} \perp$ 平面 PAC
（II）设 $\mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\mathrm{O}$ ，因为 $\angle \mathrm{BAD}=60^{\circ}, \mathrm{PA}=\mathrm{AB}=2$ ，
所以 $\mathrm{BO}=1, \mathrm{AO}=\mathrm{OC}=\sqrt{3}$ ，
以 O 为坐标原点，分别以 $\mathrm{OB}, \mathrm{OC}$ 为 x 轴、 y 轴，以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 $\mathrm{O}-\mathrm{xyz}$ ，则
$\mathrm{P}(0,-\sqrt{3}, 2), \mathrm{A}(0,-\sqrt{3}, 0), \mathrm{B}(1,0,0), \mathrm{C}(0, \sqrt{3}, 0)$

所以 $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=(1, \sqrt{3},-2), \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(0,2 \sqrt{3}, 0)$
设 PB 与 AC 所成的角为 $\theta$ ，则 $\cos \theta=\left|\frac{\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}\right|=\frac{6}{2 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$
（III）由（II）知 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-1, \sqrt{3}, 0)$ ，设 $\mathrm{P}(0,-\sqrt{3}, \mathrm{t})(\mathrm{t}>0)$ ，
则 $\overrightarrow{\mathrm{BP}}=(-1,-\sqrt{3}, t)$
设平面 PBC 的法向量 $\vec{\pi}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$
则 $\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{m}}=0 \quad \overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=0$ ，
所以 $\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3} y=0 \\ -x+\sqrt{3} y+t z=0\end{array}\right.$ 令 $y=\sqrt{3}$ ，则 $x=3, z=\frac{6}{t}$ ，
平面 PBC 的法向量所以 $\overrightarrow{\mathrm{m}}=\left(3, \sqrt{3}, \frac{6}{\mathrm{t}}\right)$ ，
同理平面 PDC 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(-3, \sqrt{3}, \frac{6}{\mathrm{t}}\right)$ ，因为平面 $\mathrm{PBC} \perp$ 平面 PDC ，
所以 $\vec{m} \cdot \vec{n}=0$ ，即 $-6+\frac{36}{t^{2}}=0$ ，解得 $t=\sqrt{6}$ ，
所以 $\mathrm{PA}=\sqrt{6}$ ．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力