设 a ≠ 0，若 x = a 为函数 f ( x ) =…——2021 高考数学第 12 题答案解析

2021_全国乙卷

2021 全国第 12 题单选题区分题

12.设 $a \neq 0$ ，若 $x = a$ 为函数 $f ( x ) = a ( x - a ) ^ { 2 } ( x - b )$ 的极大值点，则

A. $a < b$

B. $a > b$

C. $a b < a ^ { 2 }$

D. $a b > a ^ { 2 }$

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答案：

解析：

$$ f ^ { \prime } ( x ) = 2 a ( x - a ) ( x - b ) + a ( x - a ) ^ { 2 } = a ( x - a ) ( 3 x - 2 b - a ) $$

当 $a > 0$ 时，原函数先增再减后增.

原函数在f x¢( ) 0= 的较小零点时取得极大值.

即 $a < \frac { a + 2 b } { 3 }$ ，即 $a < b \ , \ \therefore a ^ { 2 } < a b$

当 $a < 0$ 时，原函数先减再增后减.

原函数在 $f ^ { \prime } ( x ) = 0$ 的较大零点时取得极大值.

即 $a > \frac { a + 2 b } 3 , a > b , a ^ { 2 } < a b$ ，故选D.

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