2012_退役省自主命题 (2012·理)
16、记 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数，例如，$[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1$ 。设 $a$ 为正
整数，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=a, x_{n+1}=\left[\frac{x_{n}+\left[\frac{a}{x_{n}}\right]}{2}\right]\left(n \in N^{*}\right)$ ，现有下列命题：
①当 $a=5$ 时，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的前 3 项依次为 $5,3,2$ ；
②对数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 都存在正整数 $k$ ，当 $n \geq k$ 时总有 $x_{n}=x_{k}$ ；
③当 $n \geq 1$ 时,$x_{n}>\sqrt{a}-1$ ；
④对某个正整数 $k$ ，若 $x_{k+1} \geq x_{k}$ ，则 $x_{n}=[\sqrt{a}]$ 。其中的真命题有 $\_\_\_\_$。（写出所有真命题的编号）
①③④
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
答案：①③④
解析：当 $\mathrm{a}=5$ 时，$x_{1}=5, x_{2}=\left[\frac{5+1}{2}\right]=3, x_{3}=\left[\frac{3+\left[\frac{5}{3}\right]}{2}\right]=2$ ，（1）正确．
当 $\mathrm{a}=1$ 时，$x_{1}=1, x_{2}=\left[\frac{1+\left[\frac{1}{1}\right]}{2}\right]=1, x_{3}=1, x_{k}$ 恒等于 $[\sqrt{1}]=1$ ；
当 $\mathrm{a}=2$ 时，$x_{1}=2, x_{2}=\left[\frac{2+1}{2}\right]=\left[\frac{3}{2}\right]=1, x_{3}=\left[\frac{1+\left[\frac{2}{1}\right]}{2}\right]=\left[\frac{3}{2}\right]=1$ ，
所以当 $k \geq 2$ 时，恒有 $x_{k}=[\sqrt{2}]=1$ ；
当 $a=3$ 时，
$x_{1}=3, x_{2}=\left[\frac{3+1}{2}\right]=2, x_{3}=\left[\frac{2+\left[\frac{3}{2}\right]}{2}\right]=\left[\frac{3}{2}\right]=1=[\sqrt{3}]$ ，
$x_{4}=\left[\frac{1+\left[\frac{3}{1}\right]}{2}\right]=2, x_{5}=\left[\frac{2+\left[\frac{3}{2}\right]}{2}\right]=\left[\frac{3}{2}\right]=1, \quad x_{6}=\left[\frac{1+3}{2}\right]=2$ ，
所以当 k 为偶数时，$x_{k}=2$ ，当 k 为大于 1 的奇数时，$x_{k}=1$ ，（2）不正确．
在 $x_{n}+\left[\frac{a}{x_{n}}\right]$ 中，当 $\frac{a}{x_{n}}$ 为正整数时，$x_{n}+\left[\frac{a}{x_{n}}\right]=x_{n}+\frac{a}{x_{n}} \geq 2 \sqrt{a}$ ，
$\therefore x_{n+1}=\left[\frac{x_{n}+\left[\frac{a}{x_{n}}\right]}{2}\right] \geq\left[\frac{2 \sqrt{a}}{2}\right]=[\sqrt{a}]$ ；当 $\frac{a}{x_{n}}$ 不是正整数时，令 $\left[\frac{a}{x_{n}}\right]=\frac{a}{x_{n}}-t, \mathrm{t}$ 为 $\left[\frac{a}{x_{n}}\right]$ 的
小数部分 $, 0<t<1, x_{n+1}=\left[\frac{x_{n}+\left[\frac{a}{x_{n}}\right]}{2}\right]=\left[\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}-t}{2}\right]>\left[\frac{2 \sqrt{a}-t}{2}\right]=\left[\sqrt{a}-\frac{t}{2}\right]=[\sqrt{a}]$ ，
$\therefore x_{n+1} \geq[\sqrt{a}], \therefore x_{n} \geq[\sqrt{a}]$ 即 $x_{n}>\sqrt{a}-1$ ，（3）正确．
由以上论证知，存在某个正整数 k ，若 $x_{k+1} \geq x_{k}$ ，则 $x_{k}=[\sqrt{a}]$ ，④正确。
考点定位：本题考查的是信息题，意在考查考生对新信息的阅读和理解能力；