（12分）设F₁，F<sub>2</…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【考点】K4：椭圆的性质

【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题

【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为 $\frac { 3 } { 4 }$ ，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；

（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及 $\left| \mathsf { M N } \right| { = } 5 \left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { N } \right|$ ，建立方程组关系，

求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论

【解答】解：（1）∵M是C上一点且 ${ \sf M F } _ { 2 }$ 与x轴垂直，

$\therefore M$ 的横坐标为c，当x=c时， $y = \frac { b ^ { 2 } } { a }$ ，即 $\textsf { M } ( { \mathsf { c } } , \ \frac { \mathtt { b } ^ { 2 } } { \mathtt { a } } )$

若直线MN的斜率为 $\frac { 3 } { 4 }$

即 $\tan \angle M F _ { 1 } F _ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } } { \frac { a } { 2 c } } = \frac { b ^ { 2 } } { 2 a c } = \frac { 3 } { 4 }$

即 $b ^ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } a c = a ^ { 2 } - c ^ { 2 }$

即 $\cot \frac { 3 } { 2 } \pi - \mathtt { a } ^ { 2 } = 0$

则 $e ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } e - 1 = 0$

即 $2 \mathsf { e } ^ { 2 } { + } 3 \mathsf { e } ^ { \mathrm { ~ - ~ } 2 = 0 }$

解得 $\mathtt { e } { = } \frac { 1 } { 2 }$ 或e=﹣2（舍去），

即 $\mathtt { e } { = } \frac { 1 } { 2 }$

（Ⅱ）由题意，原点O是 $\mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 }$ 的中点，则直线 ${ \mathsf { M } } { \mathsf { F } } _ { 1 }$ 与y轴的交点D（0，2）是线段${ \mathsf { M } } { \mathsf { F } } _ { 1 }$ 的中点，

设 $\mathbf { M } \left( \mathbf { c } , \ \mathsf { y } \right) \ , \left( \mathsf { y } \{ \mathsf { \Sigma } \right)$

则 $\frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，即 $\mathbf { y } ^ { 2 } = \frac { b ^ { 4 } } { a ^ { 2 } }$ ，解得 $v = \frac { b ^ { 2 } } { a }$

$\because O D$ 是 $\triangle \mathsf { M F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 }$ 的中位线，

$\therefore \frac { b ^ { 2 } } { a } = 4$ ，即 $\mathtt { b } ^ { 2 } \mathtt { = } 4 \mathtt { a }$

由 $\left| \mathsf { M N } \right| { = } 5 \left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { N } \right|$
则 $\mid \mathsf { M F } _ { 1 } \mid = 4 \mid \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { N } \mid$
解得 $\left| \mathsf { D F } _ { 1 } \right| { = } 2 \left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { N } \right|$
即 $\overrightarrow { \mathrm { D F } _ { 1 } } = 2 \overrightarrow { \mathrm { F } _ { 1 } \mathrm { N } }$
设N $( \mathsf { x } _ { 1 } , \mathsf { y } _ { 1 } )$ ，由题意知 $\mathsf { I y } _ { 1 } { < } 0$
则 $( - c , - 2 ) = 2 ( \mathsf { x } _ { 1 } \mathsf { + c } , \mathsf { y } _ { 1 } )$
即 $\left\{ \begin{array} { l l } { 2 ( \mathtt { x } _ { 1 } + \mathtt { c } ) = - \mathtt { c } } \\ { 2 \mathtt { y } _ { 1 } = - 2 } \end{array} \right.$ ，即 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } _ { 1 } = - { \frac { 3 } { 2 } } { \mathsf { c } } } \\ { \mathbf { y } _ { 1 } = - 1 } \end{array} \right.$
代入椭圆方程得 $\frac { 9 c ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = 1$
将 $\mathtt { b } ^ { 2 } = 4 \mathtt { a }$ 代入得 $\frac { g ( a ^ { 2 } - 4 a ) } { 4 a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 a } = 1$
解得a=7， $b = 2 \sqrt { 7 }$

【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度