2018_新课标II卷
17．（12分）记 $S _ { \mathfrak { n } }$ 为等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和，已知 $\mathsf { a } _ { 1 } = - \mathsf { 7 } , \mathsf { S } _ { 3 } = - \mathsf { 1 5 }$
（1）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；
（2）求 $S _ { \mathfrak { n } } .$ ，并求 $S _ { \mathfrak { n } }$ 的最小值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列
【分析】（1）根据 $\mathsf { a } _ { 1 } = - \mathsf { 7 } , \mathsf { S } _ { 3 } = - \mathsf { 1 5 }$ ，可得 $\ a _ { 1 } = \textrm { - } 7 , ~ 3 \ b { \mathrm { a } } _ { 1 } + 3 \ b { \mathrm { d } } = \textrm { - } 1 5$ ，求出等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的公差，然后求出 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ 即可；
> ②由 $a _ { 1 } = { \textrm { - } } 7 , ~ \mathsf { d } { = } 2 , ~ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } { = } 2 { \mathsf { n } } \textrm { - } 9$ ，得 $S _ { n } = \frac { n } { 2 } ( a _ { 1 } + a _ { n } ) = \frac { 1 } { 2 } ( 2 n ^ { 2 } - 1 6 n ) = n ^ { 2 } - 8 n = ( n$ $- ~ 4 ) ~ 2 - 1 6$ ，由此可求出 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 以及 $S _ { \mathfrak { n } }$ 的最小值
【解答】解：（1）∵等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { = } - 7 , \mathsf { S } _ { 3 } \mathsf { = } - 1 5$
$\therefore a _ { 1 } = - 7 , 3 a _ { 1 } + 3 d = - 1 5$ ，解得 $\ a _ { 1 } = \textrm { - } 7 , ~ \ d = 2$
$$ \therefore a _ { n } = - 7 + 2 ( n - 1 ) = 2 n - 9 ; $$
> ② $\because a _ { 1 } = - 7 , d = 2 , a _ { n } = 2 n - 9$
$$ \therefore S _ { n } = \frac { n } { 2 } ( a _ { 1 } + a _ { n } ) = \frac { 1 } { 2 } ( 2 n ^ { 2 } - 1 6 n ) = n ^ { 2 } - 8 n = ( n - 4 ) ^ { 2 } - 1 6 , $$
∴当n=4时，前n项的和 $\mid \mathsf { S } _ { \mathsf { n } } .$ 取得最小值为﹣16
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题