2022_全国甲卷
10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 \pi$ ，侧面积分别为 $S _ { \mathbb { H } }$ 和 $S _ { \mathrm { { Z } } }$ ，体积分别为 $V _ { \mathbb { H } }$ 和 $V _ { Z }$ ．若 $\frac { S _ { \scriptscriptstyle \mathbb { H } } } { S _ { \scriptscriptstyle \ Z } } = 2$ ，则 $\frac { V _ { \oplus } } { V _ { \ Z } } =$ （ ）
C
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】C
【解析】
【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为 $r _ { 1 }$ ，乙圆锥底面圆半径为 $r _ { 2 }$ ，根据圆锥的侧面积公式可得$r _ { 1 } = 2 r _ { 2 }$ ，再结合圆心角之和可将 $r _ { 1 } , r _ { 2 }$ 分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为 $r _ { 1 }$ ，乙圆锥底面圆半径为 $r _ { 2 }$ ，则 $\frac { S _ { \scriptscriptstyle \mathrm { H } } } { S _ { \scriptscriptstyle \mathrm { Z } } } = \frac { \pi r _ { 1 } l } { \pi r _ { 2 } l } = \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } = 2$ 所以 $r _ { 1 } = 2 r _ { 2 }$ 又 $\frac { 2 \pi r _ { 1 } } { l } + \frac { 2 \pi r _ { 2 } } { l } = 2 \pi$ 则 ${ \frac { r _ { 1 } + r _ { 2 } } { l } } = 1$ 所以 $r _ { 1 } = \frac { 2 } { 3 } l , r _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } l$ 所以甲圆锥 高的 $h _ { 1 } = \sqrt { l ^ { 2 } - \frac { 4 } { 9 } l ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } l$ 乙圆锥的高 $h _ { 2 } = \sqrt { l ^ { 2 } - \frac { 1 } { 9 } l ^ { 2 } } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } l$
所以 $\frac { V _ { \mathrm { { H } } } } { V _ { \mathrm { { Z } } } } = \frac { \displaystyle { \frac { 1 } { 3 } \pi { r _ { 1 } } ^ { 2 } h _ { 1 } } } { \displaystyle { \frac { 1 } { 3 } \pi { r _ { 2 } } ^ { 2 } h _ { 2 } } } = \frac { \displaystyle { \frac { 4 } { 9 } l ^ { 2 } \times \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } l } } { \displaystyle { \frac { 1 } { 9 } l ^ { 2 } \times \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } l } } = \sqrt { 1 0 }$
故选：C.