高考数学立体几何真题及答案解析

5. 已知棱台上下底面均为有一个角是 $6 0 ^ { \circ }$ 的菱形，且上下底面边长分别为2和3，若该棱台的高为 $\sqrt { 3 }$ ，则该棱台的体积为（ )

5. 正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } \mathrm { \ell }$ ,错误的是()

5． 棱台上下底面均为有一个内角是 $60^{\circ}$ 的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的高为 $\sqrt{3}$ ，则该棱台体积为

14． 球 $O$ 的体积为 $4 \sqrt{3} \pi, A, B, C, D$ 四点均在球 $O$ 的球面上，$\triangle A B C$ 为等边三角形，$D A=D B=D C=\sqrt{2}$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为 $\_\_\_\_$．

16．三棱锥 $A-B C D$ 中，$E$ 在 $B D$ 上，$A E \perp C E, A E \perp D E, C D \perp A D$ ．

（1） 证明：$C D \perp A B$ ；
（2） 若 $D E=2, B E=1, A E=\sqrt{2}, C D=2 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

10． 在空间中，$A , B$ 为两个定点，动点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为2，动点 $D$ 到直线 $A B$ 的距离为1，若二面角 $C- A B-D$ 为 $60^{\circ}$ ，则

14．某科技兴趣小组用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 $A B C D E F$ 是一个平面多边形，平面 $A F R \perp$ 平面 $A B C$ ，平面 $C D T \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, A B / / E F / / R S / / C D$ ，

$B C / / D E / / S T / / A F$ 。若 $A B=B C=8, A F=C D=4, R A=R F=T C=T D=\frac{5}{2}$ ，则该多面体的体积为
$\_\_\_\_$．

17．如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$\square A D C$ 与 $\square B A C$ 均为等腰直角三角形，$\angle A D C=90^{\circ}, \angle B A C=90^{\circ}, E$ 为 $B C$ 的中点．

（1） 若 $F, G$ 分别为 $P D, P E$ 的中点，求证：$F G / /$ 平面 $P A B$ ；
（2） 若 $P A \perp$ 平面 $A B C D, P A=A C$ ，求直线 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角θ=$\_$．(结果用角度制表示，精确到0.01°)

18.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 $A B = 2$

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，求圆锥的侧面积；

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ${ \frac { \pi } { 3 } } , C D / / A B$ 设点M在线段OC上，证明:直线QM∥/平面PBD.

7．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B D=4 \sqrt{2}, D B_{1}=9$ ，则该正四棱柱的体积为 $\_\_\_\_$．

18．如图， P 是圆锥的顶点， 0 是底面圆心， AB 是底面直径，且 $A B=2$ ．

（1）若直线 PA 与圆锥底面的所成角为 $\frac{\pi}{3}$ ，求圆锥的侧面积；
（2）已知 Q 是母线 PA 的中点，点 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 在底面圆周上，且弧 $\widehat{A C}$ 的长为 $\frac{\pi}{3}, C D \| A B$ 。设点 M在线段 OC 上，证明：直线 $Q M \|$ 平面 PBD。

4．若 $m$ 为直线，$\alpha, \beta$ 为两个平面，则下列结论中正确的是

17．正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, E , F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, C_{1} B_{1}$ 中点，$C G=3 G C_{1}$ ．

（1）求证：$G F \perp$ 平面 $F B E$ ；

（2）求平面 $F B E$ 与平面 $E B G$ 夹角的余弦值；
（3）求三棱锥 $D-F B E$ 的体积．

14. 一个底面半径为 $4 c m$ ，高为9cm的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球.则铁球半径的最大值为 cm

17. （15分）. 如图，四边形ABCD中， $A B \parallel C D$ $\angle D A B = 9 0 ^ { \circ }$ ，F为CD中点，E在AB上， $E F \mid \mid A D \ , A B = 3 A D , C D = 2 A D$ 。将四边形 EFDA 沿 EF翻折至四边形

$E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ ，使得面 $E F D ^ { ' } A$ 与面EFCB所成的二面角为60°

（1）证明： $\dot { A ^ { \prime } } B \parallel$ 平面 $C D ^ { ' } F$

(2) 求面 $B C D '$ 与面 $E F D ^ { ' } A ^ { ' }$ 所成二面角的正弦值.

8. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4， $2 { \sqrt { 2 } } \ , \ 2 { \sqrt { 2 } }$ ，则该四棱锥的高为（ ）

17. 已知四棱锥 P-ABCD， $A D / / B C$ $A B = B C = 1$ ， AD = 3， $D E = P E = 2$ ，E 是 AD上一点，$P E \perp A D$

（1）若F是PE中点，证明：BF// 平面PCD

（2）若AB 平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值

8．已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 $4,4,2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$ ，则该四棱锥的高为（）

17．已知四棱锥 $P-A B C D, A D / / B C, A B=B C=1, A D=3, D E=P E=2, E$ 是 $A D$ 上一点， $P E \perp A D$ ．

（1）若 $F$ 是 $P E$ 中点，证明：$B F / /$ 平面 $P C D$ ．
（2）若 $A B \perp$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

10. 设a b、 是两个平面，m n、 是两条直线，且 $\alpha \cap \beta = m$ .下列四个命题：

①若 $m / / n$ ，则 $n / \alpha$ 或 $n / \beta$ ②若 $m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha , n \perp \beta$

③若 $n / \alpha$ ，且 $n / \beta$ ，则 $m / / n$ ④若n与a和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m \perp n$

其中所有真命题的编号是（ ）

14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 $r_1$ 和 $r_2$ ，母线长分别为 $2(r_2 - r_1)$ 和 $3(r_2 - r_1)$ ，则两个圆台的体积之比 $\frac{V_{\text{甲}}}{V_{\text{乙}}} =$ \_\_\_\_.

16. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，$B C / / A D , E F / / A D$ ， AD = 4,AB = BC = EF = 2， $E D = \sqrt { 1 0 } , F B = 2 \sqrt { 3 }$ ， M 为 AD 的中点.

（1）证明：BM// 平面CDE；

（2）求点M到ABF 的距离.

19. 如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $ABCD$ 与四边形 $ADEF$ 均为等腰梯形， $BC \parallel AD, EF \parallel AD, AD = 4, AB = BC = EF = 2, ED = \sqrt{10}, FB = 2\sqrt{3}, M$ 为 $AD$ 的中点.

（1）证明： $BM \parallel$ 平面 CDE；

(2) 求二面角 F-BM-E 的正弦值.

10．设 $\alpha , \beta$ 是两个平面，$m , n$ 是两条直线，且 $\alpha \cap \beta=m$ ．下列四个命题：
①若 $m / / n$ ，则 $n / / \alpha$ 或 $n / / \beta$
②若 $m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha, n \perp \beta$
③若 $n / / \alpha$ ，且 $n / / \beta$ ，则 $m / / n$
④若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m \perp n$其中所有真命题的编号是（ ）

14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，母线长分别为 $2\left(r_{2}-r_{1}\right)$ 和 $3\left(r_{2}-r_{1}\right)$ ，则两个圆台的体积之比 $\frac{V_{\text {甲 }}}{V_{乙}}=$ $\_\_\_\_$ ．

19．如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D, A D=4, A B=B C=E F=2, E D=\sqrt{10}, F B=2 \sqrt{3}$ ，$M$ 为 $A D$ 的中点．

（1）证明：$B M / /$ 平面 $C D E$ ；
（2）求二面角 $F-B M-E$ 的正弦值．

19. 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 均为等腰梯形，
/ / , / /BC AD EF AD， $4,2ADABBCEF====$， $10,23EDFB==$，M为 AD的中点．
（1）证明： / /BM平面CDE；
（2）求二面角F BM E- -的正弦值．

10．设 $\alpha , \beta$ 是两个平面，$m , n$ 是两条直线，且 $\alpha \cap \beta=m$ ．下列四个命题：
①若 $m / / n$ ，则 $n / / \alpha$ 或 $n / / \beta$
②若 $m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha, n \perp \beta$
③若 $n / / \alpha$ ，且 $n / / \beta$ ，则 $m / / n$
④若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m \perp n$
其中所有真命题的编号是（ ）

16．如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D, A D=4, A B=B C=E F=2, E D=\sqrt{10}, F B=2 \sqrt{3}$ ，$M$ 为 $A D$ 的中点．

（1）证明：$B M / /$ 平面 $C D E$ ；
（2）求点 $M$ 到 $A B F$ 的距离．

16. 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形 ADEF 均为等腰梯形，
/ / , / /BC AD EF AD， $4,2ADABBCEF====$， $10,23EDFB==$，M为 AD的中点.
（1）证明： //BM平面CDE；
（2）求点M到 ABF的距离.

6.</sub> _若m n, _{为两条不同的直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是（} _）

9. 一 个 五 面 体 ABC DEF- ． 已 知 $A D / / B E / / C F$ ， 且 两 两 之 间 距 离 为 1 ． 并 已 知$A D = 1$ BE CF= =2 3， ， ．则该五面体的体积为（ ）

17. 已 知 四 棱 柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中 ， 底 面 ABCD为 梯 形 ， $A B / / C D$ $A _ { 1 } A$ ^ 平 面 ABCD，$A D \perp A B$ ，其中 $\ A B = A A _ { 1 } = 2 , A D = D C = 1$ ． N 是 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点， M是 $D D _ { 1 }$ 的中点

（1）求证 $D _ { 1 } N / /$ 平面 $C B _ { 1 } M$

（2）求平面 $C B _ { 1 } M$ 与平面 $B B _ { 1 } C C _ { 1 }$ 的夹角余弦值；

（3）求点B到平面 $C B _ { 1 } M$ 的距离

6．若 $m, n$ 为两条不同的直线，$\alpha$ 为一个平面，则下列结论中正确的是（）

9．一个五面体 $A B C-D E F$ ．已知 $A D / / B E / / C F$ ，且两两之间距离为 1 ．并已知 $A D=1, B E=2, C F=3$ ．则该五面体的体积为（）

17．已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形，$A B / / C D, A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A D \perp A B$ ，其中 $A B=A A_{1}=2, A D=D C=1 . N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，$M$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

（1）求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；
（2）求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；
（3）求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离．

5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥的体积为（）

17．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3}$ ．

（1）若 $A D \perp P B$ ，证明：$A D / /$ 平面 $P B C$ ；
（2）若 $A D \perp D C$ ，且二面角 $A-C P-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求 $A D$ ．

7．已知正三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B=6, A_{1} B_{1}=2$ ，则 $A_{1} A$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为