（本小题满分 12 分） 直三棱柱 ABC - A _ 1…——2012 高考数学第 17 题答案解析

## 【解析】如图

①如图，连接 $A B_{1}$ ，由直三棱柱可知 $\angle \mathrm{CAB}=90^{\circ}, \therefore \mathrm{AC} \perp$ 平面 $\mathrm{ABB}_{1} \mathrm{~A}_{1}, \therefore \mathrm{AC} \perp \mathrm{BA}_{1}$ ，又 $\because A B=\mathrm{AA}_{1}, \therefore \mathrm{BA}_{1} \perp \mathrm{AB}_{1}, C A \cap \mathrm{AB}_{1}=A, \therefore C \mathrm{~B}_{1} \perp \mathrm{BA}_{1}$ ．
②$\because A B=A_{1} A=2, B C=\sqrt{5}, \therefore A C=A_{1} C_{1}=1$ ，
又 $\because A_{1} C_{1} \perp$ 平面 $A B A_{1}, \therefore V_{C_{-} A B A}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B A} \cdot A_{1} C_{1}=\frac{1}{3} \times 2 \times 1=\frac{2}{3}$ ．
【考点定位】该题主要考查垂直关系的证明，多面体体积的计算，是常考题型，解法具有一般性。