（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥CD…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M 证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，只要在平面ABCD上作CM∥AB交AD于M即得；（Ⅱ）要证面面垂直，先证线面垂直，也就要证线线垂直，本题中有 $P A \bot B D$ (由线面垂直的性质或定义得)，另外可以由平面几何知识证明 $B D \perp A B$，从而有线面垂直，再有面面垂直，

试题解析：

（I）取棱AD的中点 $M ( M \in$ 平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：

因为 $A D \mathbb { I } B C , B C = { \frac { 1 } { 2 } } A D$，所以 $B C \ V A M .$ , 且 $B C { = } A M .$

所以四边形 $A M C B$ 是平行四边形，从而 $C M \mathbb { H } B .$

又 $A B \subset$ 平面 $P A B , C M \ \subset$ 平面 PAB,

所以 $C M / /$ 平面 PAB.

(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

（II）由已知， $P A \perp A B , P A \perp C D$

因为 $A D / / B C , B C = \frac { 1 } { 2 } A D$，所以直线AB与CD相交，

所以PA ⊥平面 $A B C D$

从而 $P A \quad \bot \quad B D .$

因为 $A D / / B C , B C = \frac { 1 } { 2 } A D$

所以 $B C / / M D ,$ 且 $B C { = } \mathrm { M D }$

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以 $B M = C D = \frac { 1 } { 2 } A D$，所以 $B D \perp A B$

又 $A B \cap A P { = } A ,$ 所以 $B D \perp$ 平面 $P A B$

又 $B D \subset$ 平面 PBD,

所以平面 $P A B \bot$ 平面 PBD.

考点：线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.

【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写．