如图，已知圆中两条弦 A B 与 C D 相交于点 F,…——2011 高考数学第 11 题答案解析

【答案】$\frac{\sqrt{7}}{2}$

【解答】
（5 分）（2011 • 天津）如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 $\mathrm{F}, \mathrm{E}$ 是 AB 延长线上一点，且 $\mathrm{DF}=\mathrm{CF}=\sqrt{2}, \mathrm{AF}: \mathrm{FB}: \mathrm{BE}=4: 2: 1$ ．若 CE 与圆相切，则 CE 的长为 $-\frac{\sqrt{7}}{2}$－。

【考点】圆的切线方程．
【专题】直线与圆。
【分析】设出 $\mathrm{AF}=4 \mathrm{k}, \mathrm{BF}=2 \mathrm{k}, \mathrm{BE}=\mathrm{k}$ ，由 $\mathrm{DF} \bullet \mathrm{FC}=\mathrm{AF} \bullet \mathrm{BF}$ 求出 k 的值，利用切割定理求出 CE．

【解答】解：设 $A F=4 k, B F=2 k, B E=k$ ，由 $D F \bullet F C=A F \bullet B F$ ，得 $2=8 k^{2}$ ，即 $k=\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \mathrm{AF}=2, \quad \mathrm{BF}=1, \quad \mathrm{BE}=\frac{1}{2}, \quad \mathrm{AE}=\frac{7}{2}$ ，
由切割定理得 $\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{BE} \cdot \mathrm{EA}=\frac{1}{2} \times \frac{7}{2}=\frac{7}{4}$ ，
$\therefore \mathrm{CE}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ ．
【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型。