2018_新课标III卷
15．（5分）若变量x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { x } + \mathbf { y } + 3 \geqslant 0 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } + 4 \geqslant 0 , } \\ { \mathbf { x } - 2 \leqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $z { = } { \bf x } { + } \frac { 1 } { 3 } y$ 的最大值是 3
3
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】7C：简单线性规划
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，3）时，z最大
【解答】解：画出变量x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { x } + \mathbf { y } + 3 \geqslant 0 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } + 4 \geqslant 0 . } \\ { \mathbf { x } - 2 \leqslant 0 } \end{array} \right.$ 表示的平面区域如图：由$\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = 2 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } + 4 = 0 } \end{array} \right. }$ 解得A（2，3）
$z = x ^ { + } \frac { 1 } { 3 } y$ 变形为 $1 \mathsf { y } = - \ 3 \mathsf { x } ^ { + } 3 \mathsf { z }$ ，作出目标函数对应的直线，
当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大，
最大值为 $2 + 3 \times \frac { 1 } { 3 } = 3$
故答案为：3
【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值