已知直四棱柱 A B C D - A _ 1 B _ 1…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 ${ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \pi$

【解析】

【分析】

根据已知条件易得 $D _ { 1 } E _ { \mathrm { \mathrm { ~ } } } = \sqrt { 3 }$ $D _ { 1 } E$ ^侧面 $B _ { 1 } C _ { 1 } C B$ ，可得侧面 $B _ { 1 } C _ { 1 } C B$ 与球面的交线上的点到E的距离为 $\sqrt { 2 }$ ，可得侧面 $B _ { 1 } C _ { 1 } C B$ 与球面的交线是扇形EFG 的弧 $\widehat { F G }$ ，再根据弧长公式可求得结果.

【详解】如图：

$B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点为 E， $B B _ { 1 }$ 的中点为 F ， $C C _ { 1 }$ 的中点为 $G$ ，

因为 $\angle B A D = 6 0 ^ { \circ }$ ，直四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的棱长均为2，所以 $\triangle D _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 为等边三角形，所以 $D _ { 1 } E$ $= \sqrt { 3 } \ , D _ { 1 } E \perp B _ { 1 } C _ { 1 }$

又四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 为直四棱柱，所以 $B B _ { 1 }$ ^平面 $A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ ，所以 $B B _ { 1 } \perp B _ { 1 } C _ { 1 }$

因为 $B B _ { 1 } \cap B _ { 1 } C _ { 1 } = B _ { 1 }$ ，所以 $D _ { 1 } E \bot$ 侧面 $B _ { 1 } C _ { 1 } C B$

设 P为侧面 $B _ { 1 } C _ { 1 } C B$ 与球面的交线上的点，则 $D _ { 1 } E \bot E P$

因为球的半径为 $\sqrt { 5 }$ ， $D _ { 1 } E = \sqrt { 3 }$ ，所以 $E P | = \sqrt { | D _ { 1 } P | ^ { 2 } - | D _ { 1 } E | ^ { 2 } } = \sqrt { 5 - 3 } = \sqrt { 2 }$

所以侧面 $B _ { 1 } C _ { 1 } C B$ 与球面的交线上的点到E的距离为 $\sqrt { 2 }$

因为| | |EF = $E G \left| = \sqrt { 2 } \right.$ ，所以侧面 $B _ { 1 } C _ { 1 } C B$ 与球面的交线是扇形EFG 的弧 $\widehat { F G }$

因为 $\angle B _ { 1 } E F = \angle C _ { 1 } E G = { \frac { \pi } { 4 } }$ ，所以 $\angle F E G = \frac { \pi } { 2 }$

所以根据弧长公式可得 ${ \widehat { F G } } = { \frac { \pi } { 2 } } \times { \sqrt { 2 } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \pi$

故答案为： ${ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \pi$

【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.