已知△ABC是面积为 9 3 4 的等边三角形，且其顶点都…——2020 高考数学第 10 题答案解析

【答案】C【解析】【分析】

根据球O的表面积和VABC 的面积可求得球O的半径R和VABC 外接圆半径r，由球的性质可知所求距离 $d = { \sqrt { R ^ { 2 } - r ^ { 2 } } }$

【详解】设球O的半径为R，则 $4 \pi R ^ { 2 } = 1 6 \pi$ ，解得： R = 2 .

$$ \triangle A B C $$

$\because \triangle A B C$ 是面积为 $\frac { 9 { \sqrt { 3 } } } { 4 }$ 的等边三角形，

$\therefore \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = \frac { 9 \sqrt { 3 } } { 4 }$ ，解得： a =3， \ $\cdot r = { \frac { 2 } { 3 } } \times { \sqrt { a ^ { 2 } - { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } } } = { \frac { 2 } { 3 } } \times { \sqrt { 9 - { \frac { 9 } { 4 } } } } = { \sqrt { 3 } }$

\球心O到平面ABC的距离 $d = { \sqrt { R ^ { 2 } - r ^ { 2 } } } = { \sqrt { 4 - 3 } } = 1$

故选：C.

【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；
解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.