已知 a > 0，函数 f ( x ) = a x - x…——2021 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（I） $y = ( a - 1 ) x , ( a > 0 )$ ；（II）证明见解析；（III） $[ - e , + \infty )$

【解析】

【分析】（I）求出f(x)在 x = 0处的导数，即切线斜率，求出 f(0)，即可求出切线方程

（II）令 $f ^ { \prime } ( x ) = 0$ ，可得 $a = ( x + 1 ) e ^ { x }$ ，则可化为证明 $y = a y = g \bigl ( x \bigr )$ 仅有一个交点，利用导数求出 $g ( x )$ 的变化情况，数形结合即可求解；

（III）令 $h ( x ) = \left( x ^ { 2 } - x - 1 \right) e ^ { x } , ( x > - 1 )$ ，题目等价于存在 $x \in \left( - 1 , + \infty \right)$ ，使得 $h ( x ) \leq b$ 即 $b \geq h ( x ) _ { \mathrm { m i n } }$ ，利用导数即可求出 $h ( x )$ 的最小值.

【详解】（I） $f ^ { \prime } ( x ) = a - ( x + 1 ) e ^ { x }$ ，则 $f ^ { \prime } ( 0 ) = a - 1$

$$ f ( 0 ) = 0 $$

$$ y = ( a - 1 ) x , ( a > 0 ) $$

（II）令 $f ^ { \prime } ( x ) = a - ( x + 1 ) e ^ { x } = 0$ ，则 $a = ( x + 1 ) e ^ { x }$

令 $g ( x ) = ( x + 1 ) e ^ { x }$ ，则 $g ^ { \prime } ( x ) = ( x + 2 ) e ^ { x }$

当 $x \in ( - \infty , - 2 )$ 时， $g ^ { \prime } ( x ) < 0 , g ( x )$ 单调递减；当 $x \in ( - 2 , + \infty )$ 时， $g ^ { \prime } ( x ) > 0$ $g ( x )$ 单调递增，

当 $x \to - \infty$ 时， $g \left( x \right) < 0 , g \left( - 1 \right) = 0$ ，当 $x \to + \infty$ 时， $g \left( x \right) > 0$ ，画出 $g ( x )$ 大致图像如下：

所以当 $a > 0$ 时， $y = a$ 与 $y = g \left( x \right)$ 仅有一个交点，令 $g \left( m \right) = a$ ，则 $m > - 1$ ，且$f ^ { \prime } ( m ) = a - g ( m ) = 0$

当 $x \in ( - \infty , m )$ 时， $a > g ( x )$ ，则 $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，f(x)单调递增，

当 $x \in \left( m , + \infty \right)$ 时， $a < g ( x )$ ，则 $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ，f(x)单调递减，

$x = m$ 为 $f ( x )$ 的极大值点，故f x( )存在唯一的极值点；

（III）由（II）知 $f ( x ) _ { \mathrm { m a x } } = f ( m )$ ，此时 $a = ( 1 + m ) e ^ { m } , m > - 1$

所以 $\{ f ( x ) - a \} _ { \mathrm { m a x } } = f ( m ) - a = \left( m ^ { 2 } - m - 1 \right) e ^ { m } , ( m > - 1 )$

令 $h ( x ) = \left( x ^ { 2 } - x - 1 \right) e ^ { x } , ( x > - 1 )$

若存在a，使得 $f ( x ) \leq a + b$ 对任意 $x \in \mathbf { R }$ 成立，等价于存在 $x \in \left( - 1 , + \infty \right)$ ，使得 $h ( x ) \leq b$ 即 $b \geq h ( x ) _ { \mathrm { m i n } }$

$$ h ^ { \prime } ( x ) = \left( x ^ { 2 } + x - 2 \right) e ^ { x } = ( x - 1 ) ( x + 2 ) e ^ { x } , ~ x > - 1 , $$

当 $x \in ( - 1 , 1 )$ 时， $h ^ { \prime } ( x ) < 0 \ , h ( x )$ 单调递减，当 $x \in ( 1 , + \infty )$ 时， $h ^ { \prime } ( x ) > 0 \ , h ( x )$ 单调递增，

所以 $h ( x ) _ { \mathrm { m i n } } = h ( 1 ) = - e$ ，故 $b \geq - e$

所以实数b的取值范围 $[ - e , + \infty )$

【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明 $y = a$ 与 $y = g \left( x \right)$ 仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在 $x \in \left( - 1 , + \infty \right)$ ，使得 $h ( x ) \leq b$ ，即 $b \geq h ( x ) _ { \mathrm { m i n } }$