2013_退役省自主命题 (2013·文)
（16）（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}, n \in N_{+}$．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$；
（II）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，$T_{n}$ 为前 $n$ 项和，且 $b_{1}=a_{2}, b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$，求 $T_{20}$．
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】：（I）由题意知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 $a_{n}=3^{n-1}$， $S_{n}=\frac{1-3^{n}}{1-3}=\frac{1}{2}\left(3^{n}-1\right)$
（II）$b_{1}=a_{2}=3, b_{3}=1+3+9=13, b_{3}-b_{1}=10=2 d$ 所以公差 $d=5$ 故
$$ T_{20}=20 \times 3+\frac{20 \times 19}{2} \times 5=1010 $$