设 a R，对任意实数x，记 f ( x ) = * m…——2022 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $a \ge 1 0$

【解析】

【分析】设 $g \left( x \right) = x ^ { 2 } - a x + 3 a - 5 , h \left( x \right) = \left| x \right| - 2$ ，分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出$\Delta \geq 0$ ，求出a 的取值范围，然后对实数a 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围

【详解】设 $g \left( x \right) = x ^ { 2 } - a x + 3 a - 5$ $h \left( x \right) = \left| x \right| - 2$ ，由 $\left| x \right| - 2 = 0$ 可得 $x = \pm 2$

要使得函数f(x)至少有3个零点，则函数 $g ( x )$ 至少有一个零点，则 $\Delta = a ^ { 2 } - 1 2 a + 2 0 \geq 0$

解得 $a \leq 2$ 或 $a \ge 1 0$

①当a =2时， $g \left( x \right) = x ^ { 2 } - 2 x + 1$ ，作出函数 $g ( x )$ 、h(x)的图象如下图所示：

此时函数f(x)只有两个零点，不合乎题意；

②当 $a < 2$ 时，设函数g(x)的两个零点分别为 $x _ { 1 } , \ x _ { 2 } \left( x _ { 1 } < x _ { 2 } \right)$

要使得函数 f(x)至少有3个零点，则 $x _ { 2 } \leq - 2$

所以， $\left\{ { \begin{array} { l } { { \displaystyle { \frac { a } { 2 } } < - 2 } } \\ { { \displaystyle { g \left( - 2 \right) } = 4 + 5 a - 5 \geq 0 } } \end{array} } \right.$ ，解得 $a \in { \mathcal { O } }$

③当 $a = 1 0$ 时， $g \left( x \right) = x ^ { 2 } - 1 0 x + 2 5$ ，作出函数 $g ( x )$ $h ( x )$ 的图象如下图所示：

由图可知，函数f(x)的零点个数为3，合乎题意；

④当 $a > 1 0$ 时，设函数 $g ( x )$ 的两个零点分别为 $x _ { 3 }$ 、 $x _ { 4 } \left( x _ { 3 } < x _ { 4 } \right)$

要使得函数 f(x)至少有3个零点，则 $x _ { 3 } \geq 2$

可得 $\left\{ { \frac { a } { 2 } } > 2 \right. \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ ，解得 $a > 4$ ，此时 $a > 1 0$

综上所述，实数a的取值范围是 $\left[ 1 0 , + \infty \right)$

故答案为： $\left[ 1 0 , + \infty \right)$

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.