【答案】 $\frac { 2 } { 5 }$
【解析】
【分析】设 $\vec { a } = ( 1 , 0 ) , \vec { b } = ( 0 , 2 ) , \vec { c } = ( m , n )$ ，由平面向量的知识可得 $2 x + y - \sqrt { 5 } z = 2$ ，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设 $\vec { a } = ( 1 , 0 ) , \vec { b } = ( 0 , 2 ) , \vec { c } = ( m , n )$
则 ${ \left( { \vec { a } } - { \vec { b } } \right) } \cdot { \vec { c } } = m - 2 n = 0$ ，即 $m = 2 n$
又向量 $\vec { d }$ 在 $\vec { a } , \vec { b }$ 方向上的投影分别为x，y，所以 $\stackrel { } { d } = ( x , y )$
所以 $\vec { d } - \vec { a }$ 在 $\vec { c }$ 方向上的投影 $z = \frac { ( \vec { d } - \vec { a } ) \cdot \vec { c } } { \vert \vec { c } \vert } { = } \frac { m \left( x - 1 \right) + n y } { \sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } } { = } \frac { 2 x - 2 + y } { \pm \sqrt { 5 } }$
即 $2 x + y \mp \sqrt { 5 } z = 2$
所以 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 1 0 } } { \bigg [ } 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + { \Big ( } { \pm } { \sqrt { 5 } } { \Big ) } ^ { 2 } { \bigg ] } { \Big ( } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } { \Big ) } \geq { \frac { 1 } { 1 0 } } { \Big ( } 2 x + y \mp { \sqrt { 5 } } z { \Big ) } ^ { 2 } = { \frac { 2 } { 5 } }$
当且仅当 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { x } { 2 } = \frac { y } { 1 } = \frac { z } { \mp \sqrt { 5 } } } \\ { \displaystyle 2 x + y \mp \sqrt { 5 } z = 2 } \end{array} \right.$ 即 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle x = \frac { 2 } { 5 } } \\ { \displaystyle y = \frac { 1 } { 5 } } \\ { \displaystyle z = \mp \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } } \end{array} \right.$ 时，等号成立，
所以 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 }$ 的最小值为 $\frac { 2 } { 5 }$
故答案为： $\frac { 2 } { 5 }$
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 $x , y , z$ 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.