如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形， A B…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) $\frac { 2 } { 3 }$

【解析】

解法一：（I）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点

所以 $. { \mathrm { G H } } \parallel { \mathrm { A B } }$，且 $\mathrm { G H } = { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { A B }$

又F是CD中点，所以D $\mathtt { F } { = } \frac { 1 } { 2 } \mathtt { C D }$，由四边形ABCD是矩形得 $\mathrm { A B } \parallel \mathrm { C D }$ $_ { \mathrm { A B } } { = } C D$，所以

$\mathrm { G H | | D F }$，且 $G H { = } \mathrm { D } \mathrm { F }$ .从而四边形 $H G F D$ 是平行四边形，所以 $G F / / D H$

$\mathrm { D H } \subset$ 平面 $\mathrm { A D E }$ $\mathrm { G F } \subset$ 平面ADE，所以GF∥平面ADE.

(II)如图，在平面BEC内，过点B作BQEC,因为 $\mathbb { B E \bot C E }$，所以 $\mathbb { B } \mathbb { Q } \perp \mathbb { B } \mathbb { E }$

又因为 $A B \bot$ 平面 $\mathtt { B E C }$，所以 $A B \bot B E$ $A B \bot B Q$

以B为原点，分别以 $\overline { { B E } } , \overline { { B Q } } , \overline { { B A } }$ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0.0.2)B(0,0,0)，E(2,0,0),F(2,2,1). 因为 $A B \bot$ 平面 $\mathbb { B } \mathbb { E } { \sf C } ,$ 所以 $\overline { { B \mathrm { A } } } = ( 0 , 0 ,$ 2)为平面 BEC的法向量，

设 $\overline { { n } } = ( \mathrm { x } , \mathrm { y } , z )$ 为平面AEF的法向量又 $\overline { { \mathrm { A E } } } = ( 2 , 0 , - 2 ) , \overline { { \mathrm { A F } } } = ( 2 , 2 , - 1 )$

由 $\left\{ { \begin{array} { l } { { \vec { n } } { \cdot } { \overline { { \mathrm { A E } } } } = 0 , } \\ { { \vec { \neg } } { \cdot } { \overline { { \mathrm { A F } } } } = 0 , } \end{array} } \right.$ 得 $\left\{ { \begin{array} { c } { 2 x - 2 z = 0 , } \\ { 2 x + 2 y - z = 0 } \end{array} } \right.$ 取z=2得 $\scriptstyle { \overline { { n } } = ( 2 , - 1 , 2 ) }$

从而 $\cos ( \overrightarrow { n } , \overrightarrow { B A } ) = \frac { \overrightarrow { n } \cdot \overrightarrow { B A } } { \vert \overrightarrow { n } \vert \cdot \vert \overrightarrow { B A } \vert } = \frac { 4 } { 3 \times 2 } = \frac { 2 } { 3 }$

所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为 $\frac { 2 } { 3 }$

解法二：（I)如图，取AB 中点M，连接MG， $M F$，又G是BE的中点，可知 $G M / / A E$

又AE ⊂面 ADE， $G M \ne$ 面ADE，所以GM //平面ADE.

在矩形ABCD 中，由M，F分别是AB，C D的中点得 $M F / / A D$

$A D \subset$ 面ADE, $M F \subsetneq$ 面ADE，所以 $M F /$ /面ADE.

又因为GM $\cap M F = M$ $G M \subset$ 面 $G M F$ $M F \subset$ 面 $G M F$

所以面 $G M F / /$ 平面ADE，因为 $G F \subset$ 面 $G M F$，所以GM//平面ADE.

（Ⅱ）同解法一

【考点定位】1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角

【名师点睛】本题考查直线和平面平行的证明和二面角求法，直线和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性质来证，注意线线平行、线面平行、面面平行的转化；利用坐标法求二面角，主要是空间直角坐标系的建立要恰当，便于用坐标表示相关点，求出半平面法向量夹角后，要观察二面角是锐角还是钝角，正确写出二面角的余弦值