（5分） A B C 中， A B 边的高为CD，若 C…——2012 高考数学第 9 题答案解析

【考点】9Y：平面向量的综合题．
【分析】由题意可得，$C A \perp C B, C D \perp A B$ ，由射影定理可得，$A C^{2}=A D \cdot A B$ 可求 $A D$ ，进而可求 $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}$ ，从而可求 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 的关系，进而可求

【解答】解：$\because \overrightarrow{\mathrm{a}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{b}}=0$ ，

$\therefore \mathrm{CA} \perp \mathrm{CB}$
$\because C D \perp A B$
$\because|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1, \quad|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2$
$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{5}$
由射影定理可得，$A C^{2}=A D \cdot A B$
$\therefore \mathrm{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$
$\therefore \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\frac{4 \sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{4}{5} \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{4}{5}(\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}})=\frac{4}{5}(\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}})$
故选：D．

【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．