2012 大纲卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\{x \mid x$ 是平行四边形 $\}, B=\{x \mid x$ 是矩形 $\}, C=\{x \mid x$ 是正方形 $\}$ ， $\mathrm{D}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}$ 是菱形 $\}$ ，则（）

2．（5分）函数 $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+1}(\mathrm{x} \geqslant-1)$ 的反函数是（ ）

3．（5分）若函数 $f(x)=\sin \frac{x+\phi}{3}(\phi \in[0,2 \pi])$ 是偶函数，则 $\phi=()$

4．（5分）已知 $\alpha$ 为第二象限角， $\sin \alpha=\frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 $\mathrm{x}=-4$ ，则该椭圆的方程为（ ）

6．（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, S_{n}=2 a_{n+1}$ ，则当 $n>1$ 时，$S_{n}=$（

7．（5分） 6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（ ）

8．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, C C_{1}=2 \sqrt{2}, E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则直线 $\mathrm{AC}_{1}$ 与平面 BED 的距离为（）

9．（5分）$\triangle A B C$ 中，$A B$ 边的高为CD，若 $\overrightarrow{C B}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b}, \vec{a} \bullet \vec{b}=0,|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=$

10．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=2$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\left|P F_{1}\right|=2 \left|P F_{2}\right|$ ，则 $\cos \angle F_{1} P F_{2}=$（ ）

11．（5分）已知 $x=\ln \pi, y=\log _{5} 2, z=e^{-\frac{1}{2}}$ ，则（）

12．（5分）正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， $\mathrm{AE}=\mathrm{BF}=\frac{1}{3}$ ．定点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当点 P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为（）

13．（5分）$\left(x+\frac{1}{2 x}\right)^{8}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 7。

14．（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0 \\ x+y-3 \leqslant 0 \\ x+3 y-3 \geqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=3 x-y$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ －1。

15．（5分）当函数 $y=\sin x-\sqrt{3} \cos x(0 \leq x<2 \pi)$ 取得最大值时，$x=\underline{\frac{5 \pi}{6}}$ —。

16．（5分）已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ ，$F$ 分别为 $B_{1}, C C_{1}$ 的中点，那么异面直线 $A E$ 与 $D_{1} F$ 所成角的余弦值为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{5}$ ．

17．（10分）$\triangle A B C$ 中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足 $2 b^{2}=3 a c$ ，求A。

18．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n+2}{3} a_{n}$ （1）求 $a_{2}, a_{3}$ ； （2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

19．（12分）如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，$P A \perp$ 底面 $A B C D$ ， $\mathrm{AC}=2 \sqrt{2}, \mathrm{PA}=2, \mathrm{E}$ 是 PC 上的一点， $\mathrm{PE}=2 \mathrm{EC}$ ． （I）证明： $\mathrm{PC} \mathrm{\perp}$ 平面 BED ； （II）设二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{PB}-\mathrm{C}$ 为 $90^{\circ}$ ，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。 

20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球两次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球． （1）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 ： 2 的概率； （2）求开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率．

21．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； ②设 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，若过两点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$的直线 $l$ 与 x 轴的交点在曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 上，求 a 的值．

22．（12分）已知抛物线C：$y=(x+1)^{2}$ 与圆 $M:(x-1)^{2}+\left(y \frac{1}{2}\right)^{2}=r^{2}(r>0)$有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线I． （I）求 $r$ ； （II）设 $m$ ，$n$ 是异于 $I$ 且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线，$m$ ，$n$ 的交点为 $D$ ，求 $D$ 到 $I$的距离．