2012_退役省自主命题 (2012·理)
15．函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的导函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的部分图象如图 4 所示，其中，$P$ 为图象与 $y$ 轴的交点，$A, C$ 为图象与 $x$ 轴的两个交点，$B$ 为图象的最低点。
（1）若 $\varphi=\frac{\pi}{6}$ ，点 $P$ 的坐标为 $\left(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ ，则 $\omega=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）若在曲线段 $\overparen{A B C}$ 与 $x$ 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 $\triangle A B C$ 内的概率为 $\_\_\_\_$。
(1) 3; (2) $\frac{\pi}{4}$
【答案】（1） 3 ，②$\frac{\pi}{4}$
【解析】（1）因 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ ，所以 $f^{\prime}(x)=\omega \cos (\omega x+\varphi)$ ，由 $\varphi=\frac{\pi}{6}$ 时点 $P$ 的
坐标为 $\left(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ ，则 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}=\omega \cos \frac{\pi}{6}$ ，解得 $\omega=3$ ；
> ②由题可知曲线段 $A B C$ 与 $x$ 轴所围成的区域为 $S_{\Omega}=\left|\int_{x_{A}}^{x_{c}} \omega \cos (\omega x+\varphi)\right|=2$ ，而 $\Delta A B C$的面积为 $S_{\Delta}=\frac{1}{2} \times \frac{T}{2} \times|\omega|=\frac{\pi}{2}$ ，由几何概型概率计算公式可得所求概率为 $P=\frac{\pi}{4}$ 。
【考点定位】三角函数的图像与性质和几何概型概率计算。
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。