（本小题满分 12 分）如图，梯形 A B C D 中，…——2012 高考数学第 10 题答案解析

【答案】：（I）（II）
【解析】：从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果是： $x$ 轴上取 2 个点的有 $A_{1} A_{2} B_{1}, A_{1} A_{2} B_{2}, A_{1} A_{2} C_{1}, A_{1} A_{2} C_{2}$共 4 种。 $y$ 轴上取 2 个点的有 $B_{1} B_{2} A_{1}, B_{1} B_{2} A_{2}, B_{1} B_{2} C_{1}$ ，
$B_{1} B_{2} C_{2}$ ，共 4 种。 $z$ 轴上取 2 个点的有 $C_{1} C_{2} A_{1}, C_{1} C_{2} A_{2}, C_{1} C_{2} B_{1}, C_{1} C_{2} B_{2}$ ，共 4 种

所选取的 3 个点在不同坐标轴上有 $A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} B_{1} C_{2}, A_{1} B_{2} C_{1}, A_{1} B_{2} C_{2}$ ，w $A_{2} B_{1} C_{1} A_{2} B_{1} C_{2} A_{2} B_{2} C_{1} A_{2} B_{2} C_{2}$ 共 8 种，因此，从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果共 20 种。
（1）选取的这 3 个点与原点 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有 $A_{1} B_{1} C_{1} =A_{2} B_{2} C_{2}$ 共 2 种，因此，这 3 个点与原点 $O$ 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为 $P_{1}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$
（2）选取的这 3 个点与原点 共面的所有可能结果有：$A_{1} A_{2} B_{1}, A_{1} A_{2} B_{2}, A_{1} A_{2} C_{1}$ ， $A_{1} A_{2} C_{2} \quad, \quad B_{1} B_{2} A_{1} \quad, \quad B_{1} B_{2} A_{2}, \quad B_{1} B_{2} C_{1} \quad, \quad B_{1} B_{2} C_{2}, C_{1} C_{2} A_{1} \quad, C_{1} C_{2} A_{2}, C_{1} C_{2} B_{1} \quad$ ， $C_{1} C_{2} B_{2}$ 共 12 种，因此，这 3 个点与原点 $O$ 共面的概率为 $P_{2}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

$D E \perp A B, C F \perp A B, A B=12, A D=5, B C=4 \sqrt{2}, D E=4$ ．现将 $\triangle A D E, \triangle C F B$ 分别沿 $D E, C F$ 折起，使两点 $A, B$ 重合于点 $G$ ，得到多面体 $C D E F G$（1）求证：平面 $D E G \perp$平面 $C F G$ ；（2）求多面体 $C D E F G$ 的体积

【答案】：（ I ）（II） 16

【解析】：（I）证明：因为 $D E \perp E F$ ，（

由 $G D=5, D E=4$ ，得 $C E=\sqrt{G D^{2}-}$
有 $E F^{2}=G E^{2}+F G^{2}$ ，所以 $E G \perp G k$
得 $C F \perp$ 平面 $E F G$ ，所以 $C F \perp E G$
$C F G$ ；
（II）：在平面 $E G F$ 中，过点 G 作 $G H$
则 $G H=\frac{E G \cdot G F}{E F}=\frac{12}{5}$
因为平面 $C D E F \perp$ 平面 $E F G$ ，
得 $G H \perp$ 平面 $C D E F, V_{C D E F}=\frac{1}{3} S_{C D E}$