（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线…——2012 高考数学第 8 题答案解析

【考点】KI：圆锥曲线的综合

【专题】11：计算题；16：压轴题

【分析】设等轴双曲线C： $\mathsf { x } ^ { 2 } \textrm { - y } ^ { 2 } \mathsf { = a } ^ { 2 } \textrm { } ( \mathsf { a } \mathsf { > } 0 )$ $\mathsf { y } ^ { 2 } = 1 6 \mathsf { x }$ 的准线l： $\times = - 4$ ，由C与抛物线 $\mathsf { y } ^ { 2 } = 1 6 \mathsf { x }$ 的准线交于A，B两点， $\left| \operatorname { A B } \right| = 4 { \sqrt { 3 } } ,$ ，能求出C的实轴长

【解答】解：设等轴双曲线C： $\mathsf { x } ^ { 2 } \textrm { - y } ^ { 2 } \mathsf { = a } ^ { 2 } \textrm { } ( \mathsf { a } { \geq } 0 )$

$\mathsf { y } ^ { 2 } = 1 6 \mathsf { x }$ 的准线l： $\times = - 4$

$\because \mathsf { C } .$ 与抛物线 $\mathsf { y } ^ { 2 } = \mathsf { 1 6 x }$ 的准线l： $\times = - 4$ 交于A，B两点， $\left| \mathbb { A B } \right| { = } 4 \sqrt { 3 }$ ∴A $( \mathbf { \nabla } - 4 , \ 2 { \sqrt { 3 } } )$ $B ( - 4 , - 2 \sqrt { 3 } )$

将A点坐标代入双曲线方程得 $a ^ { 2 } = ( - 4 ) ^ { 2 } - ( 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } = 4$

故选：C

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化