2012_退役省自主命题 (2012·理)
20．（本小题满分 13 分）
某企业接到生产 3000 台某产品的 $A, B, C$ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2， 1 （单位：件）．已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件，或 B 部件 3 件，或 C部件 2 件。该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 B 部件的人数与
生产 A 部件的人数成正比，比例系数为 $k$（ $k$ 为正整数）．
（I）设生产 A 部件的人数为 $x$ ，分别写出完成 $A, B, C$ 三种部件生产需要的时间；
（II）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 $k$ 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解析】
（I）设完成 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三种部件的生产任务需要事件（单位：天）分别为 $T_{1}(x), T_{2}(x), T_{3}(x)$ ，
由题设有 $T_{1}(x)=\frac{2 \times 3000}{6 x}=\frac{1000}{x}, T_{2}(x)=\frac{2000}{k x}, T_{3}(x)=\frac{1500}{200-(1+k) x}$ ，其中 $x, k x, 200-(1+k) x$ 均为 1 到 200 之间的正整数．
（II）完成订单任务的时间为 $f(x)=\max \left\{T_{1}(x), T_{2}(x), T_{3}(x)\right\}$ ，其定义域为
$\left\{x \left\lvert\, 0<x<\frac{200}{1+k}\right., x \in N^{*}\right\}$ 。易知，$T_{1}(x), T_{2}(x)$ 为减函数，$T_{3}(x)$ 为增函数。注意到 $T_{2}(x)=\frac{2}{k} T_{1}(x)$ ，于是
> ①当 $k=2$ 时，$T_{1}(x)=T_{2}(x)$ ，此时
$f(x)=\max \left\{T_{1}(x), T_{3}(x)\right\}=\max \left\{\frac{1000}{x}, \frac{1500}{200-3 x}\right\}$ ．
由函数 $T_{1}(x), T_{3}(x)$ 的单调性知，当 $\frac{1000}{x}=\frac{1500}{200-3 x}$ 时 $f(x)$ 取得最小值，解得 $x=\frac{400}{9}$ ．
由于 $44<\frac{400}{9}<45$ ，而 $f(44)=T_{1}(44)=\frac{250}{11}, f(45)=T_{3}(45)=\frac{300}{13}, f(44)<f(45)$ ．
故当 $x=44$ 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为 $f(44)=\frac{250}{11}$ ．
> ②当 $k>2$ 时，$T_{1}(x)>T_{2}(x)$ ，由于 $k$ 为正整数，故 $k \geq 3$ ，此时
$\frac{1500}{200-(1+k) x} \geq \frac{1500}{200-(1+3) x}=\frac{375}{50-x}$, 记 $T(x)=\frac{375}{50-x}$,
$\varphi(x)=\max \left\{T_{1}(x), T(x)\right\}$ 。易知 $T(x)$ 是增函数，则
$f(x)=\max \left\{T_{1}(x), T_{3}(x)\right\} \geq \max \left\{T_{1}(x), T(x)\right\}=\varphi(x)=\max \left\{\frac{1000}{x}, \frac{375}{50-x}\right\}$
由函数 $T_{1}(x), T(x)$ 的单调性知，当 $\frac{1000}{x}=\frac{375}{50-x}$ 时 $f(x)$ 取得最小值，解得 $x=\frac{400}{11}$ ．由于 $36<\frac{400}{11}<37$ ，而 $\varphi(36)=T_{1}(36)=\frac{250}{9}>\frac{250}{11}, \varphi(37)=T(37)=\frac{375}{13}>\frac{250}{11}$ ．此时完成订单任务的时间最短时间大于 $\frac{250}{11}$ ．
> ③当 $k<2$ 时，$T_{1}(x)<T_{2}(x)$ ，由于 $k$ 为正整数，故 $k=1$ ，此时
$f(x)=\max \left\{T_{2}(x), T_{3}(x)\right\}=\max \left\{\frac{2000}{x}, \frac{750}{100-x}\right\}$ ．
由函数 $T_{2}(x), T_{3}(x)$ 的单调性知，当 $\frac{2000}{x}=\frac{750}{100-x}$ 时 $f(x)$ 取得最小值，解得 $x=\frac{800}{11}$ ．类似（1）的讨论，此时完成订单任务的最短时间为 $\frac{250}{9}$ ，大于 $\frac{250}{11}$ ．
综上所述，当 $k=2$ 时，完成订单任务的时间最短，此时 $A, B, C$ 三种部件的人数分别为 44 ， 88， 68.
【考点定位】函数的应用问题