2011_北京卷 (2011·理)
14．（5 分）（2011 • 北京）曲线 C 是平面内与两个定点 $\mathrm{F}_{1}(-1,0)$ 和 $\mathrm{F}_{2}(1,0)$ 的距离的积等于常数 $\mathrm{a}^{2}(\mathrm{a}>1)$ 的点的轨迹。给出下列三个结论：
①曲线 C 过坐标原点；
②曲线 C 关于坐标原点对称；
③若点 P 在曲线 C 上，则 $\triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 的面积不大于 $\frac{1}{2} \mathrm{a}^{2}$ 。
其中，所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ②③ ．
【考点】轨迹方程。
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意曲线 C 是平面内与两个定点 $\mathrm{F}_{1}(-1,0)$ 和 $\mathrm{F}_{2}(1,0)$ 的距离的积等于常数 $a^{2}$（ $a>1$ ），利用直接法，设动点坐标为（ $x, y$ ），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断。
【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为 $(x, y)$ ，则利用题意及两点间的距离公式的得：$\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}} \cdot \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=a^{2} \Leftrightarrow\left[(x+1)^{2}+y^{2}\right] \cdot\left[(x-1)^{2}+y^{2}\right]=a^{4}$（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的 x 被 -x 代换， y 被 -y
代换，方程不变，故此曲线关于原点对称。（2）正确；
对于③，由题意知点 P 在曲线 C 上，则 $\triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 的面积
$S_{\triangle F_{1} P F_{2}}=\frac{1}{2}\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right| \sin \angle F_{1} P F_{2}=\frac{1}{2} a^{2} \sin \angle F_{1} P F_{2}, \leq \frac{1}{2} a^{2}$ ，所以（3）正确．
故答案为：②③．
【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域。