2019_北京卷
20．（14分）已知函数 $f \left( x \right) = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x$
（Ⅰ）求曲线 $y { = } f \left( x \right)$ 的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证： $x - 6 { \leqslant } f \left( x \right) \ { \leqslant } x ;$
（Ⅲ）设 $F \ ( x ) \ = \mid f \ ( x ) { } \ - { } \ ( x { + } a ) \ \mid \ ( a { \in } \mathbf { R } )$ ），记 $F \left( x \right)$ 在区间[﹣2，4]上的最大值为M
（a）．当M（a）最小时，求a的值
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【分析】（Ⅰ）求导数 $ { f ^ { \prime } } { \mathrm { ~ ~ \omega ~ } } ( x )$ ，由 $\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } } & { { } ( x ) = 1 } \end{array}$ 求得切点，即可得点斜式方程；
（Ⅱ）把所证不等式转化为 $- \ 6 { \ \leqslant } f \left( x \right) \ - x { \leqslant } 0$ ，再令 $g \ ( x ) = f \left( x \right) - x ,$ ，利用导数研究g（x）在[﹣2，4]的单调性和极值点即可得证；
（Ⅲ）先把 $F ^ { \prime } \left( x \right)$ 化为 $\begin{array} { r l } { | g ^ { \mathbf { \alpha } } ( x ) } & { { } - a | } \end{array}$ ，再利用（Ⅱ）的结论，引进函数 $\textit { h } \left( { t } \right) = \lvert { t } - { a } \rvert$ ，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴 $t { = } a$ 与﹣3的关系分析即可
【解答】解：（Ⅰ） $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 3 } { 4 } { \bf x } ^ { 2 } - 2 { \bf x } + 1$
由 $\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } } & { { } ( x ) = 1 } \end{array}$ 得 $x ~ ( x - \frac { 8 } { 3 } ) = 0$
得 $\mathbf { x } _ { 1 } = 0 , \mathbf { x } _ { 2 } = \frac { 8 } { 3 }$
又 $f ( 0 ) = 0 , f ( \frac { 8 } { 3 } ) = \frac { 8 } { 2 7 } ,$
$\therefore y = x$ 和 $\mathbf { y } \frac { 8 } { 2 7 } = \mathbf { x } - \frac { 8 } { 3 }$
即 y＝x 和 $\scriptstyle y = x - { \frac { 6 4 } { 2 7 } } ;$
（Ⅱ）证明：欲证 $x - 6 { \leqslant } f \left( x \right) \ { \leqslant } x$
只需 $x \in \Sigma ^ { } \Sigma ^ { } - 6 { \leqslant } f \left( x \right) \ - x { \leqslant } 0$
令 $g \ ( x ) \ = f \ ( x ) - x = \frac { 1 } { 4 } { \bf x } ^ { 3 } - { \bf x } ^ { 2 } , x \in [ - 2 , 4 ] ,$
则 $g ^ { \prime } ( x ) = \frac { 3 } { 4 } { \bf x } ^ { 2 } - 2 { \bf x } = \frac { 3 } { 4 } { \bf x } ( { \bf x } - \frac { 8 } { 3 } )$
可知 $g ^ { \prime } \mathrm { ~ ~ \omega ~ } ( x )$ 在[﹣2，0]为正，在 $( 0 , \ { \frac { 8 } { 3 } } )$ 为负，在 $[ \frac { 8 } { 3 }$ ]为正，
$\therefore g \ ( x )$ 在[﹣2，0]递增，在[0， $\frac { 8 } { 3 } ]$ 递减， $\mathrm { { \it ~ \overbrace { \mathrm { | \mathrm { \bf ~ L } | \mathrm { \frac { 8 } { 3 } } } } } }$ ]递增，
又 $g \ ( \ - \ 2 ) \ = \ - \ 6 , \ g \ ( 0 ) \ = 0 ,$ ，g $( \frac { 8 } { 3 } ) = - \frac { 6 4 } { 2 7 } > - 6 , \ g \ ( 4 ) = 0$
$$ \therefore - 6 { \leqslant } g \ ( x ) \ \leqslant 0 , $$
$$ \therefore x - 6 { \leqslant } f \left( x \right) \ { \leqslant } x ; $$
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
$$ F \ ( x ) = \left| f \left( x \right) \ - \ \left( x + a \right) \ \right| $$
$$ = | f \left( x \right) - x - a | $$
$$ = ( g \ ( x ) - a ) $$
∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，
令 $t { = } g \ ( x ) , \ h \ ( t ) \ = | t - a | ,$
则问题转化为当 $t { \in } [ \ - \ 6 , \ \ 0 ]$ 时，h（t）的最大值 $M \ ( a )$ 的问题了，
①当 $a \leqslant - 3$ 时， $M \ ( { a } ) = h \ ( 0 ) \ = \rvert { a } \rvert = - \ { a } ,$
此时 $- \ a \geqslant 3$ ，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值 $3 { \mathrm { : } }$
②当 $a \geqslant - 3$ 时， $M \ ( a ) \ = h \ ( \ - \ 6 ) \ = | \cdot \ 6 \cdot a | = | 6 + a |$
∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，
也是 $a = - 3$ 时， $M \ ( a )$ 最小为 3
综上，当 $M \ ( a )$ 取最小值时a的值为﹣3
【点评】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大