2008_省自主命题（陕西）
8．（5分）（2008•陕西）长方体 $\mathrm { A B C D } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 的各顶点都在半径为1的球面上，其中AB： $\mathbf { A D } \colon \mathbf { A A } _ { 1 } { = } 2$ $: ~ 1 : ~ { \sqrt { 3 } }$ ，则两A，B点的球面距离为（ ）
A $\frac { \pi } { 4 }$ B $\frac { \pi } { 3 }$ C $\frac { \pi } { 2 }$ D $\frac { 2 \pi } { 3 }$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】球面距离及相关计算
【专题】计算题
【分析】设出AD，然后通过球的直径求出AD，解出 $\angle \mathrm { A O B }$ ，可求A，B两点的球面距离
【解答】解：设AD=a，则 $\tt A B = \tt 2 a$ $\mathbb { A } \mathbb { A } _ { 1 } = \sqrt { 3 } \mathbb { a } ^ { \Rightarrow }$ 球的直径 $2 R = \sqrt { a ^ { 2 } + 4 a ^ { 2 } + 3 a ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 2 }$ a
即 $R = \sqrt { 2 }$ ，在 $\triangle \mathrm { A O B } ^ { \prime }$ 中， $O A = O B = R = \sqrt { 2 }$ $\mathrm { A B } { = } 2 \mathrm { a }$
$\Rightarrow \mathrm { O A ^ { 2 } + O B ^ { 2 } = A B ^ { 2 } \Rightarrow \angle A O B = 9 0 ^ { \circ } }$ 从而A，B点的球面距离为 $\frac { 1 } { 4 } \cdot 2 \pi = \frac { \pi } { 2 }$
故选C
【点评】本题考查球面距离及其他计算，实际上是球的内接长方体问题，考查学生发现问题解决问题能力，是基础题