9．（5分）设奇函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，且 $f(1)=0$ ，则不等式 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$ 的解集为（ ）
参考答案
D
（5分）设奇函数 f(x) 在 (0,+∞) 上为增函数，…——2008 高考数学第 9 题答案解析
2008_旧全国 I 卷 (2008·理)
题目指纹
这道题真正考什么？
核心知识
函数基本性质的综合应用
核心考法
构造函数分类讨论化归与转化
关键能力
应用单选题
最容易错
定义域忽略端点遗漏
难度
区分题
先及格路线 · 函数基本性质的综合应用 · 中等题
如果目标是先及格，这类题值得掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
完整解析 · 逐步详解
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【专题】16：压轴题．
【分析】首先利用奇函数定义与 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$ 得出 $x$ 与 $f(x)$ 异号，
然后由奇函数定义求出 $f(-1)=-f(1)=0$ ，
最后结合 $f(x)$ 的单调性解出答案。
【解答】解：由奇函数 $f(x)$ 可知 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}=\frac{2 f(x)}{x}<0$ ，即 $x$ 与 $f(x)$ 异号，
而 $f(1)=0$ ，则 $f(-1)=-f(1)=0$ ，
又 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，则奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上也为增函数
当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(1)=0$ ，得 $\frac{f(x)}{x}<0$ ，满足；
当 $x>1$ 时，$f(x)>f(1)=0$ ，得 $\frac{f(x)}{x}>0$ ，不满足，舍去；
当 $-1<x<0$ 时，$f(x)>f(-1)=0$ ，得 $\frac{f(x)}{x}<0$ ，满足；
当 $x<-1$ 时，$f(x)<f(-1)=0$ ，得 $\frac{f(x)}{x}>0$ ，不满足，舍去；
所以 $x$ 的取值范围是 $-1<x<0$ 或 $0<x<1$ ．
故选：D．
【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
✅ 来源：2008年 · 全国 · 2008_旧全国 I 卷 (2008·理) · 第 9 题 · 本题已通过全部自动发布校验
看懂了吗？