（5分）设奇函数 f(x) 在 (0,+∞) 上为增函数，…——2008 高考数学第 9 题答案解析

【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【专题】16：压轴题．
【分析】首先利用奇函数定义与 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$ 得出 $x$ 与 $f(x)$ 异号，
然后由奇函数定义求出 $f(-1)=-f(1)=0$ ，
最后结合 $f(x)$ 的单调性解出答案。
【解答】解：由奇函数 $f(x)$ 可知 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}=\frac{2 f(x)}{x}<0$ ，即 $x$ 与 $f(x)$ 异号，
而 $f(1)=0$ ，则 $f(-1)=-f(1)=0$ ，
又 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，则奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上也为增函数

当 $0当 $x>1$ 时，$f(x)>f(1)=0$ ，得 $\frac{f(x)}{x}>0$ ，不满足，舍去；
当 $-1f(-1)=0$ ，得 $\frac{f(x)}{x}<0$ ，满足；
当 $x<-1$ 时，$f(x)0$ ，不满足，舍去；
所以 $x$ 的取值范围是 $-1故选：D．
【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．