2008 quanguo_old_i · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）函数 $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)}+\sqrt{\mathrm{x}}$ 的定义域为

2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是

3．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ．若点 D 满足 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=$（）

4．（5分）设 $a \in R$ ，且 $(a+i)^{2} i$ 为正实数，则 $a=$（ ）

5．（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=4, a_{3}+a_{5}=10$ ，则它的前 10 项的和 $S_{10}=$（ ）

6．（5分）若函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $f (x)=(\quad)$

7．（5分）已知曲线 $y=\frac{x+1}{x-1}$ 在点 $(3,2)$ 处的切线与直线 $a x+y+1=0$ 垂直，则 $a$ 的值为（）

8．（5分）为得到函数 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象（

9．（5分）设奇函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，且 $f(1)=0$ ，则不等式 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$ 的解集为（ ）

10．（5分）若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 有公共点，则（）

11．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 内的射影为 $\triangle A B C$ 的中心，则 $A B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值等于 

12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有 4 种不同的花供选种 ，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ 

13．（5分）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant 0 \\ x-y+3 \geqslant 0 \\ 0 \leqslant x \leqslant 3\end{array}\right.$ ，则 $z=2 x-y$ 的最大值为 9 。

14．（5分）已知抛物线 $y=a x^{2}-1$ 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 $\_\_\_\_$ 2 ．

15．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$A B=B C, \cos B=-\frac{7}{18}$ ．若以 $A, B$ 为焦点的椭圆经过点 $C$ ，则该椭圆的离心率 $\mathrm{e}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{3}{8}$ ．

16．（5分）等边三角形 $A B C$ 与正方形 $A B D E$ 有一公共边 $A B$ ，二面角 $C-A B-D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}, M, N$ 分别是 $A C, B C$ 的中点，则 $E M, A N$ 所成角的余弦值等于 $\frac{1}{6}$ ．

17．（10分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ，且 $a \cos B-b c o$ $s A=\frac{3}{5} c$. （I）求 $\frac{\tan \mathrm{A}}{\tan \mathrm{B}}$ 的值； （II）求 $\tan$（A－B）的最大值。

18．（12分）四棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{BCDE}$ 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 $\mathrm{ABC} \perp$ 底面 $\mathrm{BCDE}, \mathrm{BC}=2$ ，$C D=\sqrt{2}, A B=A C$ ． （ I ）证明：$A D \perp C E$ ； （II）设CE与平面 ABE 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求二面角 $\mathrm{C}-\mathrm{AD}-\mathrm{E}$ 的大小。 

19．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ． （I）当 $\mathrm{a}=3$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间； （II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。 （I）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （II）$\xi$ 表示依方案乙所需化验次数，求 $\xi$ 的期望。

21．（12分）双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $I_{1}$ 的直线分别交 $I_{1}, I_{2}$ 于 $A, B$ 两点。已知 $|\overrightarrow{O A}| ,|\overrightarrow{A B}| , \mid \overrightarrow{O B}$ ｜成等差数列，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ 同向． （I）求双曲线的离心率； （II）设 $A B$ 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程．

22．（12分）设函数 $f(x)=x-x \ln x$ ．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $0<a_{1}<1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ ． （I）证明：函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 是增函数； （II）证明：$a_{n}<a_{n+1}<1$ ； （III）设 $\mathrm{b} \in\left(\mathrm{a}_{1}, 1\right)$ ，整数 $\mathrm{k} \geqslant \frac{\mathrm{a}_{1}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}_{1} \ln \mathrm{~b}}$ ．证明： $\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}>\mathrm{b}$ ．