若 a>0, b>0，且 1 a + 1 b = a b…——2014 高考数学第 24 题答案解析

【考点】RI：平均值不等式．
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（ I ）由条件利用基本不等式求得 $a b \geq 2$ ，再利用基本不等式求得 $a^{3}+b^{3}$的最小值．
（II）根据
$a b \geq 2$ 及基本不等式求的 $2 a+3 b>8$ ，从而可得不存在 $a, b$ ，使得 $2 a+3 b=6$ ．
【解答】解：（I）$\because a>0, b>0$ ，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{a b}$ ，
$\therefore \sqrt{\mathrm{ab}}=\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{~b}} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{\mathrm{ab}}}, \quad \therefore \mathrm{ab} \geq 2$ ，
当且仅当 $a=b=\sqrt{2}$ 时取等号．
$\because a^{3}+b^{3} \geq 2 \sqrt{(a b)^{3}} \geq 2 \sqrt{2^{3}}=4 \sqrt{2}$ ，当且仅当 $a=b=\sqrt{2}$ 时取等号，

$\therefore a^{3}+b^{3}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ ．
（II）$\because 2 a+3 b \geq 2 \sqrt{2 a \cdot 3 b}=2 \sqrt{6 a b}$ ，当且仅当 $2 a=3 b$ 时，取等号。
而由（1）可知， $2 \sqrt{6 a b} \geq 2 \sqrt{12}=4 \sqrt{3}>6$ ，
故不存在 $a, b$ ，使得 $2 a+3 b=6$ 成立．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．