2018_新课标I卷
11．（5分）已知双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { 3 } - \texttt { y } ^ { 2 } = 1$ ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若 $\triangle { \sf O M N }$ 为直角三角形，则 $\left| \mathsf { M N } \right| =$ （ ）A $\frac { 3 } { 2 }$ B．3 C $2 \sqrt { 3 }$ D．4
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KC：双曲线的性质
【专题】11：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解$\left| \mathsf { M N } \right|$
【解答】解：双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { 3 } - \texttt { y } ^ { 2 } = 1$ 的渐近线方程为： $\mathsf { v } = \pm \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \mathbf { x } ,$ 渐近线的夹角为： $60 ^ { \circ }$ ，不妨设过F（2，0）的直线为： $\scriptstyle \forall = { \sqrt { 3 } } ( \mathbf { x } - 2 )$
则： $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x$ 解得 ${ \textsf { M } } ( { \frac { 3 } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } )$ $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mathbf { y } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \mathbf { x } } \\ { \displaystyle \mathbf { y } = \sqrt { 3 } \left( \mathbf { x } - 2 \right) } \end{array} \right.$ 解得： ${ \textsf { N } } ( 3 , { \sqrt { 3 } } )$
则 $\left| \mathbf { M N } \right| = \sqrt { ( 3 - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } } = 3$
故选：B
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力