（17）（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=2 3…——2010 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分 12 分。
（1）解：由 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin x \cos x+2 \cos ^{2} x-1$ ，得
$f(x)=\sqrt{3}(2 \sin x \cos x)+\left(2 \cos ^{2} x-1\right)=\sqrt{3} \sin 2 x+\cos 2 x=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$
所以函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$

因为 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{6}\right]$ 上为增函数，在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上为减函数，又 $f(0)=1, f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1$ ，所以函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为 2 ，最小值为－1
（II）解：由（1）可知 $f\left(x_{0}\right)=2 \sin \left(2 x_{0}+\frac{\pi}{6}\right)$

又因为 $f\left(x_{0}\right)=\frac{6}{5}$ ，所以 $\sin \left(2 x_{0}+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}$

由 $x_{0} \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，得 $2 x_{0}+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{6}\right]$
从而 $\cos \left(2 x_{0}+\frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{1-\sin ^{2}\left(2 x_{0}+\frac{\pi}{6}\right)}=-\frac{4}{5}$

所以

$$ \cos 2 x_{0}=\cos \left[\left(2 x_{0}+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=\cos \left(2 x_{0}+\frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{\pi}{6}+\sin \left(2 x_{0}+\frac{\pi}{6}\right) \sin \frac{\pi}{6}=\frac{3-4 \sqrt{3}}{10} $$