【答案】① ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + y ^ { 2 } = 1$ ；（2）证明详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得 $a = 2 b$ ，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用 $P ( \sqrt { 3 } , \frac { 1 } { 2 } )$ 在椭圆上，可解出 b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出直线l方程为 $y = { \frac { 1 } { 2 } } x + m$ ，同时设交点 $A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$ ，把l方程与椭圆方程联立后消去y 得x的二次方程，利用根与系数关系，得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 }$ ，由 $\vert M A \vert \cdot \vert M B \vert = \frac { 1 } { 4 } \vert A B \vert ^ { 2 }$ 求得 $\left| M A \right| \cdot \left| M B \right|$ （用m表示），由OM方程 $y = - { \frac { 1 } { 2 } } x$ 具体地得出C D, 坐标，也可计算出 $\left| M C \right| \cdot \left| M D \right|$ ，从而证得相等
试题解析：（I）由已知，a=2b.
又椭圆 $\displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 过点 $P ( \sqrt { 3 } , \frac { 1 } { 2 } )$ ，故 $\frac { 3 } { 4 b ^ { 2 } } + \frac { \frac { 1 } { 4 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，解得 $b ^ { 2 } = 1$
所以椭圆E的方程是 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + y ^ { 2 } = 1$
(II) 设直线 $l$的方程为 $y = \frac { 1 } { 2 } x + m ( m \neq 0 ) , A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$
由方程组 $\left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle x ^ { 2 } } \\ { \displaystyle 4 } \end{array} } + y ^ { 2 } = 1 , \right.$ 得 $x ^ { 2 } + 2 m x + 2 m ^ { 2 } - 2 = 0$ , ①
方程①的判别式为 $\varDelta = 4 ( 2 - m ^ { 2 } )$ ，由 $\varDelta > 0$ ，即 $2 - m ^ { 2 } > 0$ ，解得 $- { \sqrt { 2 } } < m < { \sqrt { 2 } }$
由①得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = - 2 m , x _ { 1 } x _ { 2 } = 2 m ^ { 2 } - 2$
所以M点坐标为 $( - m , \frac { m } { 2 } )$ ，直线OM方程为 $y = - { \frac { 1 } { 2 } } x$
由方程组 $\left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + y ^ { 2 } = 1 } , } \\ { { \displaystyle { \vphantom { \Biggl ( } y = - { \frac { 1 } { 2 } } x , } } } \end{array} \right.$ 得 $C ( - \sqrt { 2 } , \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ) , D ( \sqrt { 2 } , - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } )$
所以 $\left| M C \right| \cdot \left| M D \right| = { \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } } ( - m + \sqrt { 2 } ) \cdot { \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } } ( \sqrt { 2 } + m ) = { \frac { 5 } { 4 } } ( 2 - m ^ { 2 } )$
$$
\big | M A \big | \cdot \big | M B \big | = \frac { 1 } { 4 } \big | . A B \big | ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } [ ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } ] = \frac { 5 } { 1 6 } [ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } ]
$$
$$
= \frac { 5 } { 1 6 } [ 4 m ^ { 2 } - 4 ( 2 m ^ { 2 } - 2 ) ] = \frac { 5 } { 4 } ( 2 - m ^ { 2 } ) .
$$
所以 $\left| M A \right| \cdot \left| M B \right| { = } \left| M C \right| \cdot \left| M D \right|$
考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为 $( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$ ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 }$ ，再把 $\left| M A \right| \cdot \left| M B \right|$ 用 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ 表示出来，并代入刚才的$x _ { 1 } + x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 }$ ，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程