设直线 x-3 y+m=0(m ≠ 0) 与双曲线 x^…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
【解析1】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 $y=\frac{b}{a} x$和 $y=-\frac{b}{a} x$ ，分别与直线 $l$ ：$\quad x-3 y+m=0$ 联立方程组，解得，$A\left(\frac{-a m}{a-3 b}, \frac{-b m}{a-3 b}\right)$ ， $B\left(\frac{-a m}{a+3 b}, \frac{b m}{a+3 b}\right)$ ，设 AB 中点为 $Q$ ，由 $|P A|=|P B|$ 得，则

$Q\left(\frac{\frac{-a m}{a-3 b}+\frac{-a m}{a+3 b}}{2}, \frac{\frac{-b m}{a-3 b}+\frac{b m}{a+3 b}}{2}\right)$
即 $Q\left(-\frac{a^{2} m}{a^{2}-9 b^{2}},-\frac{3 b^{2} m}{a^{2}-9 b^{2}}\right)$
， PQ 与已知直线垂直，

$$ \therefore k_{P Q} \cdot k_{l}=-1 \quad \text {, 即 } \frac{-\frac{3 b^{2} m}{a^{2}-9 b^{2}}}{-\frac{a^{2} m}{a^{2}-9 b^{2}}-m} \cdot \frac{1}{3}=-1 \quad \text { 即得 } $$

$2 a^{2}=8 b^{2}$ ，即 $2 a^{2}=8\left(c^{2}-a^{2}\right)$ ，即 $\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{4}$ ，所以 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
【解析2】不妨设 $a=1$ ，渐近线方程为 $\frac{x^{2}}{1^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0$ 即 $b^{2} x^{2}-y^{2}=0$
由 $\left\{\begin{array}{l}b^{2} x^{2}-y^{2}=0 \\ x-3 y+m=0\end{array}\right.$ 消去 $x$ 得 $\left(9 b^{2}-1\right) y^{2}-6 b^{2} m y+b^{2} m=0$
设 AB 中点为 $Q\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，由韦达定理得：$y_{0}=\frac{3 b^{2} m}{9 b^{2}-1}$

又 $x_{0}=3 y_{0}-m \quad$ ，由 $k_{P Q} \bullet k_{l}=-1$ 得 $\frac{y_{0}}{x_{0}-m} \cdot \frac{1}{3}=-1 \quad$ 即得 $\frac{y_{0}}{3 y_{0}-2 m} \cdot \frac{1}{3}=-1$ 得 $y_{0}=\frac{3}{5} m$ 代入（1）得 $\frac{3 b^{2} m}{9 b^{2}-1}=\frac{3}{5} m$
得 $b^{2}=\frac{1}{4}$ ，所以 $c^{2}=a^{2}+b^{2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ ，所以 $c=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，得 $e=\frac{c}{a}=c=\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】 $\frac{\sqrt{5}}{2}$