（12分）设函数 f(x)=e^ 2 x -a ln x。…——2015 高考数学第 21 题答案解析

【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E：利用导数研究函数的最值．

【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】（I）先求导，在分类讨论，当 $a \leq 0$ 时，当 $a>0$ 时，根据零点存在定理 ，即可求出；
（II）设导函数 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $(0,+\infty)$ 上的唯一零点为 $\mathrm{x}_{0}$ ，根据函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调性得到函数的最小值 $f\left(x_{0}\right)$ ，只要最小值大于 $2 a+a \ln \frac{2}{a}$ ，问题得以证明．
【解答】解：（I ）$f(x)=e^{2 x}-a \ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，
$\therefore f^{\prime}(x)=2 e^{2 x}-\frac{a}{x}$ ．
当 $a \leq 0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ 恒成立，故 $f^{\prime}(x)$ 没有零点，
当 $a>0$ 时，$\because y=e^{2 x}$ 为单调递增，$y=-\frac{a}{x}$ 单调递增，
$\therefore f^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，
又 $f^{\prime}(a)>0$ ，
假设存在 b 满足 $0<\mathrm{b}<\ln \frac{\mathrm{a}}{2}$ 时，且 $\mathrm{b}<\frac{1}{4}, \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{b})<0$ ，
故当 $a>0$ 时，导函数 $f^{\prime}(x)$ 存在唯一的零点，
（II）由（I）知，可设导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的唯一零点为 $x_{0}$ ，
当 $x \in\left(0, x_{0}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，
当 $x \in\left(x_{0}+\infty\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，

故 $f(x)$ 在 $\left(0, x_{0}\right)$ 单调递减，在 $\left(x_{0}+\infty\right)$ 单调递增，
所欲当 $x=x_{0}$ 时，$f(x)$ 取得最小值，最小值为 $f\left(x_{0}\right)$ ，
由于 $2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}_{0}}-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}_{0}}=0$ ，
所以 $f\left(x_{0}\right)=\frac{a}{2 x_{0}}+2 a x_{0}+a \ln \frac{2}{a} \geq 2 a+a \ln \frac{2}{a}$ ．
故当 $a>0$ 时，$f(x) \geq 2 a+a \ln \frac{2}{a}$ ．
【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．

四、