2015 新课标 I 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\{x \mid x=3 n+2, n \in N\}, B=\{6,8,10,12,14\}$ ，则集合 $A \cap$ B中元素的个数为

2．（5分）已知点 $A(0,1), B(3,2)$ ，向量 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-4,-3)$ ，则向量 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=$

3．（5分）已知复数 $z$ 满足 $(z-1) i=1+i$ ，则 $z=$（ ）

4．（5分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）

5．（5分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ， E 的右焦点与抛物线 C ： $y^{2}=8 x$ 的焦点重合，$A, B$ 是 $C$ 的准线与 $E$ 的两个交点，则 $|A B|=$（）

6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：＂今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？＂其意思为：＂在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？＂已 知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 

7．（5分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 1 的等差数列，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{8}=4 S_{4}$ ，则 $a { }_{10}=$

8．（5分）函数 $f(x)=\cos (\omega x+\phi)$ 的部分图象如图所示，则 $f(x)$ 的单调递 减区间为 

9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 $\mathrm{t}=0.01$ ，则输出的 $\mathrm{n}=$（ 

10．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x-1}-2, x \leqslant 1 \\ -\log _{2}(x+1), x>1\end{array}\right.$ ，且 $f(a)=-3$ ，则 $f$（ $6-a )=(\quad)$

11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $\mathbf{r}$ ）组成一个几何体 ，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16 $+20 \pi$ ，则 $\mathrm{r}=$（ ）  正视图  俯视图

12．（5分）设函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=2^{x+a}$ 的图象关于 $y=-x$ 对称，且 $f(-2)+f (-4)=1$ ，则 $\mathrm{a}=(\quad)$

13．（5分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{n+1}=2 a_{n}, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n}=126$ ，则 $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ 6。

14．（5分）已知函数 $f(x)=a x^{3}+x+1$ 的图象在点（1，$f(1)$ ）处的切线过点（ 2,7 ），则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

15．（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \leqslant 0 \\ x-2 y+1 \leqslant 0 \\ 2 x-y+2 \geqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=3 x+y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 4 ．

16．（5分）已知 F 是双曲线 $\mathrm{C}: \mathrm{x}^{2}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{8}=1$ 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， $\mathrm{A}(0$ ， $6 \sqrt{6}$ ）．当 $\triangle A P F$ 周长最小时，该三角形的面积为 $\_\_\_\_$ $12 \sqrt{6}$。

17．（12分）已知 $a, b, c$ 分别是 $\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边， $\sin ^{2} B=2 \sin A \sin C$ ． （I）若 $a=b$ ，求 $\cos B$ ； （II）设 $B=90^{\circ}$ ，且 $a=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

18．（12分）如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，$G$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，$B E \perp$ 平面 $A B C D$ ． （ I ）证明：平面 $\mathrm{AEC} \perp$ 平面 BED ； （II）若 $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{AE} \perp \mathrm{EC}$ ，三棱锥 $\mathrm{E}-\mathrm{ACD}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求该三棱锥的侧面积。 

19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 $y$（单位：$t$ ）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2, \ldots, 8)$ 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．  | $\overline{\mathrm{x}}$ | $\bar{y}$ | $\overline{\mathrm{w}}$ | $\sum_{i=1}^{8}\left(x_{i}-\bar{x}\right.$ 2 | $\sum_{i=1}^{8}\left(w_{i}-\right.$ <br> W） 2 | $\sum_{i=1}^{8}\left(x_{i}-\bar{x}\right.$ <br> $\overline{\mathrm{y}})$ | $\begin{gathered} \sum_{i=1}^{8}\left(w_{i}-\bar{w}\right. \\ ) \quad\left(y_{i}-\right. \\ \bar{y}) \end{gathered}$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 | 表中 $\mathrm{w}_{\mathrm{i}}=\sqrt{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}}, \quad \overline{\mathrm{w}}=\frac{1}{8} \sum_{\mathrm{i}=1}^{8} \mathrm{w}_{\mathrm{i}}$ （I）根据散点图判断，$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程； （III）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ 、 $y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$ 。根据（II）的结果回答下列问题： （i）年宣传费 $\mathrm{x}=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（ $\mathrm{u}_{1}$ $\left.v_{1}\right), \quad\left(u_{2}\right.$ $\left.v_{2}\right) \ldots . .\left(u_{n}\right.$ $v_{n}$ ），其回归线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{\beta}=$ $ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}}, \quad \widehat{\alpha}=\bar{v}-\widehat{\beta} u . $

20．（12分）已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C:(x-2)^{2}+(y-3) { }^{2}=1$ 交于点 $M , N$ 两点。 （1）求 $k$ 的取值范围； （2）若 $\overrightarrow{\mathrm{OM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}=12$ ，其中 O 为坐标原点，求 $|\mathrm{MN}|$ ．

21．（12分）设函数 $f(x)=e^{2 x}-a \ln x$ 。 （I）讨论 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 零点的个数； （II）证明：当 $a>0$ 时，$f(x) \geq 2 a+a \ln \frac{2}{a}$ ．

22．（10分）如图， AB 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径， AC 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线， BC 交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 E ． （I）若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线； （II）若 $O A=\sqrt{3} C E$ ，求 $\angle A C B$ 的大小。 

23．在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}: x=-2$ ，圆 $C_{2}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1$ ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I）求 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程； （II）若直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $\theta=\frac{\pi}{4}(\rho \in R)$ ，设 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 的交点为 $M, N$ ，求 $\Delta C { }_{2} \mathrm{MN}$ 的面积。

24．已知函数 $f(x)=|x+1|-2|x-a|, a>0$ ． （I）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)>1$ 的解集； （II）若 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 6 ，求 $a$ 的取值范围．