【考点】数列与函数的综合
【分析】设锐角的顶点为O，再设 $\mathrm { | O A _ { 1 } | { = } a , ~ \ | O B _ { 1 } | { = } b , ~ \ | A _ { n } A _ { n + 1 } | { = } | A _ { n + 1 } A _ { n + 2 } | { = } b }$
$| \mathrm { B _ { n } B _ { n + 1 } } | = | \mathrm { B _ { n + 1 } B _ { n + 2 } } | = \mathrm { d }$ ，由于a，b不确定，判断C，D不正确，设 $\triangle \mathrm { { A _ { n } B _ { n } B _ { n + 1 } } }$ 的底边 $\mathrm { B } _ { \mathrm { n } } \mathrm { B } _ { \mathrm { n } + 1 }$ 上的高为 $\mathrm { h } _ { \mathrm { n } }$ ，运用三角形相似知识， $\mathrm { h } _ { \mathrm { n } } + \mathrm { h } _ { \mathrm { n } + 2 } { = } 2 \mathrm { h } _ { \mathrm { n } + 1 }$ ，由 $\mathrm { S _ { n } \mathrm { = \frac { 1 } { 2 } d \bullet h _ { n } } }$ ，可得 $\mathrm { S _ { n } } { + } \mathrm { S _ { n + 2 } } { = } 2 \mathrm { S _ { n + 1 } }$ ，进而得到数列 $\{ \mathbf { S } _ { \mathrm { n } } \}$ 为等差数列
【解答】解：设锐角的顶点为 $_ { 0 , ~ | \mathrm { O A } _ { 1 } | = \mathrm { a } , ~ | \mathrm { O B } _ { 1 } | = \mathrm { b } }$
$$
\mathrm { | A _ { n } A _ { n + 1 } | = | A _ { n + 1 } A _ { n + 2 } | = b , ~ | B _ { n } B _ { n + 1 } | = | B _ { n + 1 } B _ { n + 2 } | = d , }
$$
由于a，b不确定，则 $\{ \mathtt { d } _ { \mathtt { n } } \}$ 不一定是等差数列，
$\{ \mathtt { d _ { n } } ^ { 2 } \}$ 不一定是等差数列，
设 $\triangle \mathrm { { A _ { n } B _ { n } B _ { n + 1 } } }$ 的底边 $\mathrm { B } _ { \mathrm { n } } \mathrm { B } _ { \mathrm { n } + 1 }$ 上的高为 $\mathtt { h _ { n } }$ ，
由三角形的相似可得 $\frac { \mathrm { h } _ { \mathrm { n } } } { \mathrm { h } _ { \mathrm { n } + 1 } } { \frac { \mathrm { O A } _ { \mathrm { n } } } { \mathrm { O A } _ { \mathrm { n } + 1 } } } \frac { \sf { a } + \mathrm { ~ ( \mathrm { n } - 1 ) ~ \mathrm { b } ~ } } { \sf { a } + \mathrm { n } \mathrm { b } } ,$
$$
\frac { \mathrm { h } _ { \mathrm { n } + 2 } } { \mathrm { h } _ { \mathrm { n } + 1 } } { \bar { 0 } \mathrm { A } _ { \mathrm { n } + 1 } } \frac { \mathrm { a } + \mathrm { ( \mathrm { n } + 1 ) } \mathrm { ~ b } } { \mathrm { a } + \mathrm { n } \mathrm { b } } ,
$$
两式相加可得， $\frac { h _ { n } + h _ { n + 2 } } { h _ { n + 1 } } - \frac { 2 a + 2 n b } { a + n b } = 2$
即有 $\mathrm { h } _ { \mathrm { n } } + \mathrm { h } _ { \mathrm { n } + 2 } { = } 2 \mathrm { h } _ { \mathrm { n } + 1 }$
由 $\mathrm { S _ { n } \mathrm { = } \frac { 1 } { 2 } d \bullet h _ { n } \mathrm { ; } }$ ，可得 $\mathrm { S _ { n } } { + } \mathrm { S _ { n + 2 } } { = } 2 \mathrm { S _ { n + 1 } }$
即为 $\mathrm { S } _ { \mathrm { n } + 2 } - \mathrm { S } _ { \mathrm { n } + 1 } { = } \mathrm { S } _ { \mathrm { n } + 1 } - \mathrm { S } _ { \mathrm { n } }$
则数列 $\{ \mathbf { S } _ { \mathrm { n } } \}$ 为等差数列
故选：A
【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题
