实数 ^ a , b 满足 a + b ≥ 3 （1）证明…——2024 高考数学第 20 题答案解析

（1）证明：
首先考察 $2a^2 + 2b^2$ 与 $(a+b)^2$ 的大小关系。
作差得：
$$2a^2 + 2b^2 - (a+b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$$
因为对于任意实数 $a, b$，都有 $(a-b)^2 \geq 0$，所以：
$$2a^2 + 2b^2 \geq (a+b)^2$$
已知条件给出 $a+b \geq 3$。
由于 $a+b \geq 3 > 1$，不等式两边同乘正数 $(a+b)$ 可得：
$$(a+b)^2 > a+b$$
结合上述两个不等式，有：
$$2a^2 + 2b^2 \geq (a+b)^2 > a+b$$
即 $2a^2 + 2b^2 > a+b$ 得证。

（2）证明：
利用绝对值三角不等式 $|x| + |y| \geq |x+y|$，令 $x = a - 2b^2$，$y = b - 2a^2$，则：
$$|a - 2b^2| + |b - 2a^2| \geq |(a - 2b^2) + (b - 2a^2)| = |-(2a^2 + 2b^2 - a - b)| = |2a^2 + 2b^2 - (a+b)|$$
由第（1）问结论可知 $2a^2 + 2b^2 > a+b$，即 $2a^2 + 2b^2 - (a+b) > 0$，因此绝对值符号可直接去掉：
$$|a - 2b^2| + |b - 2a^2| \geq 2a^2 + 2b^2 - (a+b)$$
再次利用第（1）问中的推导 $2a^2 + 2b^2 \geq (a+b)^2$，可得：
$$2a^2 + 2b^2 - (a+b) \geq (a+b)^2 - (a+b) = (a+b)(a+b-1)$$
设 $t = a+b$，由题设知 $t \geq 3$。
考虑函数 $f(t) = t(t-1)$，当 $t \geq 3$ 时，该函数单调递增。
所以：
$$(a+b)(a+b-1) \geq 3 \times (3-1) = 6$$
综上所述：
$$|a - 2b^2| + |b - 2a^2| \geq 6$$
得证。