2008_省自主命题（广东）
17. （本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 $\xi$
（1）求 $\xi$ 的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即 $\xi$ 的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】 $\xi$ 的所有可能取值有6，2，1，-2; $P ( \xi = 6 ) = \frac { 1 2 6 } { 2 0 0 } = 0 . 6 3$
$$ P ( \xi = 2 ) = \frac { 5 0 } { 2 0 0 } = 0 . 2 5 $$
$P ( \xi = 1 ) = \frac { 2 0 } { 2 0 0 } = 0 . 1$ $P ( \xi = - 2 ) = \frac { 4 } { 2 0 0 } = 0 . 0 2$
故 $\xi$ 的分布列为：
<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>ξ</td><td rowspan=1 colspan=1>6</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>-2</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>P</td><td rowspan=1 colspan=1>0.63</td><td rowspan=1 colspan=1>0.25</td><td rowspan=1 colspan=1>0.1</td><td rowspan=1 colspan=1>0.02</td></tr></table>
> ② $E \xi = 6 \times 0 . 6 3 + 2 \times 0 . 2 5 + 1 \times 0 . 1 + ( - 2 ) \times 0 . 0 2 = 4 . 3 4$
> ③设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为 E(x) = 6× 0.7 + 2× (1 − 0.7 − 0.01− x) + (−2)× 0.01 = 4.76 − x(0 ≤ x ≤ 0.29)
依题意， $E ( x ) \geq 4 . 7 3$ ，即 $4 . 7 6 - x \geq 4 . 7 3$ ，解得 $x \leq 0 . 0 3$ 所以三等品率最多为3%