（12分）四棱锥 A - BCDE 中，底面 BCDE 为…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【考点】 $L Y$ ：平面与平面垂直；$M J$ ：二面角的平面角及求法．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】①取 $B C$ 中点 $F$ ，证明 $C E \perp$ 面 $A D F$ ，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．
②在面 $A E D$ 内过点 $E$ 作 $A D$ 的垂线，垂足为 $G$ ，由①知，$C E \perp A D$ ，则 $\angle C G E$ 即为所求二面角的平面角，$\triangle \mathrm{CGE}$ 中，使用余弦定理求出此角的大小。

【解答】解：（1）取 BC 中点 F ，连接 DF 交 CE 于点 O ，
$\because A B=A C, \therefore A F \perp B C$ ．
又面 $A B C \perp$ 面 $B C D E, ~ \therefore A F \perp$ 面 $B C D E, ~ \therefore A F \perp C E$ 。
再根据 $\tan \angle \mathrm{CED}=\tan \angle \mathrm{FDC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，可得 $\angle \mathrm{CED}=\angle \mathrm{FDC}$ ．
又 $\angle \mathrm{CDE}=90^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{OED}+\angle \mathrm{ODE}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{DOE}=90^{\circ}$ ，即CE⟂DF，$\therefore \mathrm{CE} \perp$ 面ADF，$\therefore \mathrm{CE} \perp \mathrm{AD}$ ．
②在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线，垂足为 G ．
$\because C G \perp A D, C E \perp A D, \therefore A D \perp$ 面 $C E G, \therefore E G \perp A D$ ，
则 $\angle C G E$ 即为所求二面角的平面角．
作 $C H \perp A B$ ，$H$ 为垂足．
$\because$ 平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D E$ ，矩形 $B C D E$ 中，$B E \perp B C$ ，故 $B E \perp$ 平面 $A B C, C H \subset$ 平面 $A B C$ ，
故 $\mathrm{BE} \perp \mathrm{CH}$ ，而 $\mathrm{AB} \cap \mathrm{BE}=\mathrm{B}$ ，故 $\mathrm{CH} \perp$ 平面 ABE ，
$\therefore \angle \mathrm{CEH}=45^{\circ}$ 为 CE 与平面 ABE 所成的角．
$\because C E=\sqrt{6}, \quad \therefore C H=E H=\sqrt{3}$ ．

直角三角形 $C B H$ 中，利用勾股定理求得 $B H=\sqrt{C B^{2}-C H^{2}}=\sqrt{4-3}=1, \therefore A H=A B-B H=A$
C - 1;

直角三角形 $A C H$ 中，由勾股定理求得 $A C^{2}=C H^{2}+A H^{2}=3+(A C-1)^{2}, \therefore A B=A C=2$ ．
由面 $A B C \perp$ 面 $B C D E$ ，矩形 $B C D E$ 中 $C D \perp C B$ ，可得 $C D \perp$ 面 $A B C$ ，
故 $\triangle A C D$ 为直角三角形，$A D=\sqrt{A C^{2}+C D^{2}}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$ ，
故 $\mathrm{CG}=\frac{\mathrm{AC} \cdot \mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}=\frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \quad \mathrm{DG}=\sqrt{\mathrm{CD}^{2}-\mathrm{CG}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
$\mathrm{EG}=\sqrt{\mathrm{DE}^{2}-\mathrm{DG}^{2}}=\frac{\sqrt{30}}{3}$ ，又 $\mathrm{CE}=\sqrt{6}$ ，
则 $\cos \angle \mathrm{CGE}=\frac{\mathrm{CG}^{2}+\mathrm{GE}^{2}-\mathrm{CE}^{2}}{2 \mathrm{CG} \cdot \mathrm{GE}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{CGE}=\pi-\arccos \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$ ，
即二面角 $C-A D-E$ 的大小 $\pi-\arccos \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$ 。

【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题．